Тригонометрия Примеры

$f (x) = 2 \sin^{3} (4 x + 1)$

Этап 1

Запишем $f (x) = 2 \sin^{3} (4 x + 1)$ в виде уравнения.

$y = 2 \sin^{3} (4 x + 1)$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = 2 \sin^{3} (4 y + 1)$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $2 \sin^{3} (4 y + 1) = x$ .

$2 \sin^{3} (4 y + 1) = x$

Этап 3.2

Разделим каждый член $2 \sin^{3} (4 y + 1) = x$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $2 \sin^{3} (4 y + 1) = x$ на $2$ .

$\frac{2 \sin^{3} (4 y + 1)}{2} = \frac{x}{2}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sin^{3} (4 y + 1)}{2} = \frac{x}{2}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим $\sin^{3} (4 y + 1)$ на $1$ .

$\sin^{3} (4 y + 1) = \frac{x}{2}$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sin (4 y + 1) = \sqrt[3]{\frac{x}{2}}$

Этап 3.4

Упростим $\sqrt[3]{\frac{x}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем $\sqrt[3]{\frac{x}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{2}}$ .

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{2}}$

Этап 3.4.2

Умножим $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{2}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Этап 3.4.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Умножим $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{2}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Этап 3.4.3.2

Возведем $\sqrt[3]{2}$ в степень $1$ .

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Этап 3.4.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

Этап 3.4.3.4

Добавим $1$ и $2$ .

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

Этап 3.4.3.5

Перепишем ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{2}$ в виде $2^{\frac{1}{3}}$ .

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Этап 3.4.3.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Этап 3.4.3.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Этап 3.4.3.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Этап 3.4.3.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

Этап 3.4.3.5.5

Найдем экспоненту.

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

Этап 3.4.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Перепишем ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

Этап 3.4.4.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{4}}{2}$

Этап 3.4.5

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{x \cdot 4}}{2}$

Этап 3.4.5.2

Изменим порядок множителей в $\frac{\sqrt[3]{x \cdot 4}}{2}$ .

$\sin (4 y + 1) = \frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}$

Этап 3.5

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из синуса.

$4 y + 1 = \arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})$

Этап 3.6

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$4 y = \arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) - 1$

Этап 3.7

Разделим каждый член $4 y = \arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) - 1$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Разделим каждый член $4 y = \arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) - 1$ на $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} + \frac{- 1}{4}$

Этап 3.7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 y}{4} = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} + \frac{- 1}{4}$

Этап 3.7.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} + \frac{- 1}{4}$

Этап 3.7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}$ обратной к $f (x) = 2 \sin^{3} (4 x + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (2 \sin^{3} (4 x + 1))$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 \sin^{3} (4 x + 1)) = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 (2 \sin^{3} (4 x + 1))}}{2})}{4} - \frac{1}{4}$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Умножим $4$ на $2$ .

$f^{- 1} (2 \sin^{3} (4 x + 1)) = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{8 \sin^{3} (4 x + 1)}}{2})}{4} - \frac{1}{4}$

Этап 5.2.3.1.2

Перепишем $8 \sin^{3} (4 x + 1)$ в виде ${(2 \sin (4 x + 1))}^{3}$ .

$f^{- 1} (2 \sin^{3} (4 x + 1)) = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{{(2 \sin (4 x + 1))}^{3}}}{2})}{4} - \frac{1}{4}$

Этап 5.2.3.1.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f^{- 1} (2 \sin^{3} (4 x + 1)) = \frac{\arcsin (\frac{2 \sin (4 x + 1)}{2})}{4} - \frac{1}{4}$

Этап 5.2.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (2 \sin^{3} (4 x + 1)) = \frac{\arcsin (\frac{2 \sin (4 x + 1)}{2})}{4} - \frac{1}{4}$

Этап 5.2.3.2.2

Разделим $\sin (4 x + 1)$ на $1$ .

$f^{- 1} (2 \sin^{3} (4 x + 1)) = \frac{\arcsin (\sin (4 x + 1))}{4} - \frac{1}{4}$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 \sin^{3} (4 (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) + 1)$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 \sin^{3} (4 (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4}) + 4 (- \frac{1}{4}) + 1)$

Этап 5.3.3.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 \sin^{3} (4 (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4}) + 4 (- \frac{1}{4}) + 1)$

Этап 5.3.3.2.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 \sin^{3} (\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) + 4 (- \frac{1}{4}) + 1)$

Этап 5.3.3.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{4}$ в числитель.

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 \sin^{3} (\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) + 4 (\frac{- 1}{4}) + 1)$

Этап 5.3.3.3.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 \sin^{3} (\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) + 4 (\frac{- 1}{4}) + 1)$

Этап 5.3.3.3.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 \sin^{3} (\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) - 1 + 1)$

Этап 5.3.4

Объединим противоположные члены в $\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) - 1 + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 \sin^{3} (\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) + 0)$

Этап 5.3.4.2

Добавим $\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})$ и $0$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 \sin^{3} (\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}))$

Этап 5.3.5

Синус и арксинус — обратные функции.

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 {(\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}^{3}$

Этап 5.3.6

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 (\frac{{\sqrt[3]{4 x}}^{3}}{2^{3}})$

Этап 5.3.7

Перепишем ${\sqrt[3]{4 x}}^{3}$ в виде $4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{4 x}$ в виде ${(4 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 (\frac{{({(4 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{2^{3}})$

Этап 5.3.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 (\frac{{(4 x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}})$

Этап 5.3.7.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 (\frac{{(4 x)}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}})$

Этап 5.3.7.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 (\frac{{(4 x)}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}})$

Этап 5.3.7.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 (\frac{4 x}{2^{3}})$

Этап 5.3.7.5

Упростим.

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 (\frac{4 x}{2^{3}})$

Этап 5.3.8

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 (\frac{4 x}{8})$

Этап 5.3.9

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.9.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 (\frac{4 x}{2 (4)})$

Этап 5.3.9.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = 2 (\frac{4 x}{2 \cdot 4})$

Этап 5.3.9.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = \frac{4 x}{4}$

Этап 5.3.10

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.10.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = \frac{4 x}{4}$

Этап 5.3.10.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}$ — обратная к $f (x) = 2 \sin^{3} (4 x + 1)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}{4} - \frac{1}{4}$