Тригонометрия Примеры

$y = \arcsin (\frac{x + 3}{4})$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \arcsin (\frac{y + 3}{4})$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\arcsin (\frac{y + 3}{4}) = x$ .

$\arcsin (\frac{y + 3}{4}) = x$

Этап 2.2

Возьмем обратный арксинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из арксинуса.

$\frac{y + 3}{4} = \sin (x)$

Этап 2.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разобьем дробь $\frac{y + 3}{4}$ на две дроби.

$\frac{y}{4} + \frac{3}{4} = \sin (x)$

Этап 2.4

Вычтем $\frac{3}{4}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{y}{4} = \sin (x) - \frac{3}{4}$

Этап 2.5

Умножим обе части уравнения на $4$ .

$4 \frac{y}{4} = 4 (\sin (x) - \frac{3}{4})$

Этап 2.6

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1.1

Сократим общий множитель.

$4 \frac{y}{4} = 4 (\sin (x) - \frac{3}{4})$

Этап 2.6.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y = 4 (\sin (x) - \frac{3}{4})$

Этап 2.6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Упростим $4 (\sin (x) - \frac{3}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = 4 \sin (x) + 4 (- \frac{3}{4})$

Этап 2.6.2.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3}{4}$ в числитель.

$y = 4 \sin (x) + 4 (\frac{- 3}{4})$

Этап 2.6.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y = 4 \sin (x) + 4 (\frac{- 3}{4})$

Этап 2.6.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = 4 \sin (x) - 3$

Этап 2.7

Вычтем $\frac{3}{4}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{y}{4} = \sin (x) - \frac{3}{4}$

Этап 2.8

Умножим обе части уравнения на $4$ .

$4 \frac{y}{4} = 4 (\sin (x) - \frac{3}{4})$

Этап 2.9

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1.1.1

Сократим общий множитель.

$4 \frac{y}{4} = 4 (\sin (x) - \frac{3}{4})$

Этап 2.9.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y = 4 (\sin (x) - \frac{3}{4})$

Этап 2.9.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1

Упростим $4 (\sin (x) - \frac{3}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = 4 \sin (x) + 4 (- \frac{3}{4})$

Этап 2.9.2.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3}{4}$ в числитель.

$y = 4 \sin (x) + 4 (\frac{- 3}{4})$

Этап 2.9.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y = 4 \sin (x) + 4 (\frac{- 3}{4})$

Этап 2.9.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = 4 \sin (x) - 3$

Этап 3

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = 4 \sin (x) - 3$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = 4 \sin (x) - 3$ обратной к $f (x) = \arcsin (\frac{x + 3}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\arcsin (\frac{x + 3}{4}))$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\arcsin (\frac{x + 3}{4})) = 4 \sin (\arcsin (\frac{x + 3}{4})) - 3$

Этап 4.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Синус и арксинус — обратные функции.

$f^{- 1} (\arcsin (\frac{x + 3}{4})) = 4 (\frac{x + 3}{4}) - 3$

Этап 4.2.3.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\arcsin (\frac{x + 3}{4})) = 4 (\frac{x + 3}{4}) - 3$

Этап 4.2.3.2.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\arcsin (\frac{x + 3}{4})) = x + 3 - 3$

Этап 4.2.4

Объединим противоположные члены в $x + 3 - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Вычтем $3$ из $3$ .

$f^{- 1} (\arcsin (\frac{x + 3}{4})) = x + 0$

Этап 4.2.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\arcsin (\frac{x + 3}{4})) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (4 \sin (x) - 3)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (4 \sin (x) - 3) = \arcsin (\frac{(4 \sin (x) - 3) + 3}{4})$

Этап 4.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Добавим $- 3$ и $3$ .

$f (4 \sin (x) - 3) = \arcsin (\frac{4 \sin (x) + 0}{4})$

Этап 4.3.3.2

Добавим $4 \sin (x)$ и $0$ .

$f (4 \sin (x) - 3) = \arcsin (\frac{4 \sin (x)}{4})$

Этап 4.3.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (4 \sin (x) - 3) = \arcsin (\frac{4 \sin (x)}{4})$

Этап 4.3.4.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$f (4 \sin (x) - 3) = \arcsin (\sin (x))$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = 4 \sin (x) - 3$ — обратная к $f (x) = \arcsin (\frac{x + 3}{4})$ .

$f^{- 1} (x) = 4 \sin (x) - 3$