Тригонометрия Примеры

$y = \frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} x)$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} y)$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} y) = x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} y) = x$

Этап 2.2

Умножим обе части уравнения на $3$ .

$3 (\frac{1}{3} \sin (\frac{1}{2} y)) = 3 x$

Этап 2.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $3 (\frac{1}{3} \sin (\frac{1}{2} y))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $\sin (\frac{1}{2} y)$ .

$3 \frac{\sin (\frac{1}{2} y)}{3} = 3 x$

Этап 2.3.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{\sin (\frac{1}{2} y)}{3} = 3 x$

Этап 2.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\sin (\frac{1}{2} y) = 3 x$

Этап 2.4

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из синуса.

$\frac{1}{2} y = \arcsin (3 x)$

Этап 2.5

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y$ .

$\frac{y}{2} = \arcsin (3 x)$

Этап 2.6

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{y}{2} = 2 \arcsin (3 x)$

Этап 2.7

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{y}{2} = 2 \arcsin (3 x)$

Этап 2.7.1.2

Перепишем это выражение.

$y = 2 \arcsin (3 x)$

Этап 3

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = 2 \arcsin (3 x)$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = 2 \arcsin (3 x)$ обратной к $f (x) = \frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} x))$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} x)) = 2 \arcsin (3 (\frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} x)))$

Этап 4.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} x)) = 2 \arcsin (3 (\frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{x}{2})))$

Этап 4.2.4

Объединим $\frac{1}{3}$ и $\sin (\frac{x}{2})$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} x)) = 2 \arcsin (3 (\frac{\sin (\frac{x}{2})}{3}))$

Этап 4.2.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} x)) = 2 \arcsin (3 (\frac{\sin (\frac{x}{2})}{3}))$

Этап 4.2.5.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} x)) = 2 \arcsin (\sin (\frac{x}{2}))$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (2 \arcsin (3 x))$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (2 \arcsin (3 x)) = \frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} \cdot (2 \arcsin (3 x)))$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \arcsin (3 x)$ .

$f (2 \arcsin (3 x)) = \frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} \cdot (2 (\arcsin (3 x))))$

Этап 4.3.3.2

Сократим общий множитель.

$f (2 \arcsin (3 x)) = \frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} \cdot (2 \arcsin (3 x)))$

Этап 4.3.3.3

Перепишем это выражение.

$f (2 \arcsin (3 x)) = \frac{1}{3} \cdot \sin (\arcsin (3 x))$

Этап 4.3.4

Синус и арксинус — обратные функции.

$f (2 \arcsin (3 x)) = \frac{1}{3} \cdot (3 x)$

Этап 4.3.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$f (2 \arcsin (3 x)) = \frac{1}{3} \cdot (3 (x))$

Этап 4.3.5.2

Сократим общий множитель.

$f (2 \arcsin (3 x)) = \frac{1}{3} \cdot (3 x)$

Этап 4.3.5.3

Перепишем это выражение.

$f (2 \arcsin (3 x)) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = 2 \arcsin (3 x)$ — обратная к $f (x) = \frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} x)$ .

$f^{- 1} (x) = 2 \arcsin (3 x)$