Тригонометрия Примеры

$y = \log_{4} (4 x)$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \log_{4} (4 y)$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\log_{4} (4 y) = x$ .

$\log_{4} (4 y) = x$

Этап 2.2

Перепишем $\log_{4} (4 y) = x$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$4^{x} = 4 y$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перепишем уравнение в виде $4 y = 4^{x}$ .

$4 y = 4^{x}$

Этап 2.3.2

Разделим каждый член $4 y = 4^{x}$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Разделим каждый член $4 y = 4^{x}$ на $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{4^{x}}{4}$

Этап 2.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 y}{4} = \frac{4^{x}}{4}$

Этап 2.3.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{4^{x}}{4}$

Этап 2.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1

Сократим общий множитель $4^{x}$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4^{x}$ .

$y = \frac{4 \cdot 4^{x - 1}}{4}$

Этап 2.3.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$y = \frac{4 \cdot 4^{x - 1}}{4 (1)}$

Этап 2.3.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{4 \cdot 4^{x - 1}}{4 \cdot 1}$

Этап 2.3.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{4^{x - 1}}{1}$

Этап 2.3.2.3.1.2.4

Разделим $4^{x - 1}$ на $1$ .

$y = 4^{x - 1}$

Этап 3

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = 4^{x - 1}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = 4^{x - 1}$ обратной к $f (x) = \log_{4} (4 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\log_{4} (4 x))$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{4} (4 x)) = 4^{(\log_{4} (4 x)) - 1}$

Этап 4.2.3

Избавимся от скобок.

$f^{- 1} (\log_{4} (4 x)) = 4^{\log_{4} (4 x) - 1}$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (4^{x - 1})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (4^{x - 1}) = \log_{4} (4 (4^{x - 1}))$

Этап 4.3.3

Перепишем $\log_{4} (4 (4^{x - 1}))$ в виде $\log_{4} (4) + \log_{4} (4^{x - 1})$ .

$f (4^{x - 1}) = \log_{4} (4) + \log_{4} (4^{x - 1})$

Этап 4.3.4

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $x - 1$ из степени.

$f (4^{x - 1}) = \log_{4} (4) + (x - 1) \log_{4} (4)$

Этап 4.3.5

Логарифм $4$ по основанию $4$ равен $1$ .

$f (4^{x - 1}) = \log_{4} (4) + (x - 1) \cdot 1$

Этап 4.3.6

Умножим $x - 1$ на $1$ .

$f (4^{x - 1}) = \log_{4} (4) + x - 1$

Этап 4.3.7

Логарифм $4$ по основанию $4$ равен $1$ .

$f (4^{x - 1}) = 1 + x - 1$

Этап 4.3.8

Объединим противоположные члены в $1 + x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.8.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$f (4^{x - 1}) = x + 0$

Этап 4.3.8.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (4^{x - 1}) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = 4^{x - 1}$ — обратная к $f (x) = \log_{4} (4 x)$ .

$f^{- 1} (x) = 4^{x - 1}$