Тригонометрия Примеры

$y = \frac{2}{x - 1} + 1$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{2}{y - 1} + 1$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{2}{y - 1} + 1 = x$ .

$\frac{2}{y - 1} + 1 = x$

Этап 2.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\frac{2}{y - 1} = x - 1$

Этап 2.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y - 1, 1, 1$

Этап 2.3.2

Избавимся от скобок.

$y - 1, 1, 1$

Этап 2.3.3

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$y - 1$

Этап 2.4

Каждый член в $\frac{2}{y - 1} = x - 1$ умножим на $y - 1$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим каждый член $\frac{2}{y - 1} = x - 1$ на $y - 1$ .

$\frac{2}{y - 1} (y - 1) = x (y - 1) - (y - 1)$

Этап 2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Сократим общий множитель $y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{y - 1} (y - 1) = x (y - 1) - (y - 1)$

Этап 2.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$2 = x (y - 1) - (y - 1)$

Этап 2.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 = x y + x \cdot - 1 - (y - 1)$

Этап 2.4.3.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$2 = x y - 1 \cdot x - (y - 1)$

Этап 2.4.3.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$2 = x y - x - (y - 1)$

Этап 2.4.3.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$2 = x y - x - y - - 1$

Этап 2.4.3.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$2 = x y - x - y + 1$

Этап 2.5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем уравнение в виде $x y - x - y + 1 = 2$ .

$x y - x - y + 1 = 2$

Этап 2.5.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

$x y - y + 1 = 2 + x$

Этап 2.5.2.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x y - y = 2 + x - 1$

Этап 2.5.2.3

Вычтем $1$ из $2$ .

$x y - y = x + 1$

Этап 2.5.3

Вынесем множитель $y$ из $x y - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Вынесем множитель $y$ из $x y$ .

$y x - y = x + 1$

Этап 2.5.3.2

Вынесем множитель $y$ из $- y$ .

$y x + y \cdot - 1 = x + 1$

Этап 2.5.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y x + y \cdot - 1$ .

$y (x - 1) = x + 1$

Этап 2.5.4

Разделим каждый член $y (x - 1) = x + 1$ на $x - 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Разделим каждый член $y (x - 1) = x + 1$ на $x - 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1} + \frac{1}{x - 1}$

Этап 2.5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.2.1

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1} + \frac{1}{x - 1}$

Этап 2.5.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{x}{x - 1} + \frac{1}{x - 1}$

Этап 2.5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{x + 1}{x - 1}$

Этап 3

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ обратной к $f (x) = \frac{2}{x - 1} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{(\frac{2}{x - 1} + 1) + 1}{(\frac{2}{x - 1} + 1) - 1}$

Этап 4.2.3

Умножим числитель и знаменатель дроби на $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Умножим $\frac{\frac{2}{x - 1} + 1 + 1}{\frac{2}{x - 1} + 1 - 1}$ на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{\frac{2}{x - 1} + 1 + 1}{\frac{2}{x - 1} + 1 - 1}$

Этап 4.2.3.2

Объединим.

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{(x - 1) (\frac{2}{x - 1} + 1 + 1)}{(x - 1) (\frac{2}{x - 1} + 1 - 1)}$

Этап 4.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{(x - 1) (\frac{2}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{2}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Этап 4.2.5

Упростим путем сокращения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{(x - 1) (\frac{2}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{2}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Этап 4.2.5.1.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{2}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Этап 4.2.5.2

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.2.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{2}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Этап 4.2.5.2.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot 1}{2 + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Этап 4.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Умножим $x - 1$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 + x - 1 + (x - 1) \cdot 1}{2 + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Этап 4.2.6.2

Умножим $x - 1$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 + x - 1 + x - 1}{2 + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Этап 4.2.6.3

Вычтем $1$ из $2$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{x + 1 + x - 1}{2 + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Этап 4.2.6.4

Добавим $x$ и $x$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x + 1 - 1}{2 + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Этап 4.2.6.5

Вычтем $1$ из $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x + 0}{2 + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Этап 4.2.6.6

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x}{2 + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Этап 4.2.7

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.1

Умножим $x - 1$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x}{2 + x - 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Этап 4.2.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x}{2 + x - 1 + x \cdot - 1 - 1 \cdot - 1}$

Этап 4.2.7.3

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x}{2 + x - 1 - 1 \cdot x - 1 \cdot - 1}$

Этап 4.2.7.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x}{2 + x - 1 - 1 \cdot x + 1}$

Этап 4.2.7.5

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x}{2 + x - 1 - x + 1}$

Этап 4.2.7.6

Вычтем $1$ из $2$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x}{x + 1 - x + 1}$

Этап 4.2.7.7

Вычтем $x$ из $x$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x}{0 + 1 + 1}$

Этап 4.2.7.8

Добавим $0$ и $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x}{1 + 1}$

Этап 4.2.7.9

Добавим $1$ и $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x}{2}$

Этап 4.2.8

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x}{2}$

Этап 4.2.8.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\frac{x + 1}{x - 1})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2}{(\frac{x + 1}{x - 1}) - 1} + 1$

Этап 4.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.1

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{x + 1}{x - 1} - 1 \cdot \frac{x - 1}{x - 1}} + 1$

Этап 4.3.3.1.2

Объединим $- 1$ и $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{x + 1}{x - 1} + \frac{- (x - 1)}{x - 1}} + 1$

Этап 4.3.3.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{x + 1 - (x - 1)}{x - 1}} + 1$

Этап 4.3.3.1.4

Перепишем $\frac{x + 1 - (x - 1)}{x - 1}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{x + 1 - x + 1}{x - 1}} + 1$

Этап 4.3.3.1.4.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{x + 1 - x + 1}{x - 1}} + 1$

Этап 4.3.3.1.4.3

Вычтем $x$ из $x$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{0 + 1 + 1}{x - 1}} + 1$

Этап 4.3.3.1.4.4

Добавим $0$ и $1$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{1 + 1}{x - 1}} + 1$

Этап 4.3.3.1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{2}{x - 1}} + 1$

Этап 4.3.3.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = 2 (\frac{x - 1}{2}) + 1$

Этап 4.3.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.3.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = 2 (\frac{x - 1}{2}) + 1$

Этап 4.3.3.3.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = x - 1 + 1$

Этап 4.3.4

Объединим противоположные члены в $x - 1 + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = x + 0$

Этап 4.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ — обратная к $f (x) = \frac{2}{x - 1} + 1$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$