Тригонометрия Примеры

$y = \frac{1}{x - 2} - 3$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{1}{y - 2} - 3$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{y - 2} - 3 = x$ .

$\frac{1}{y - 2} - 3 = x$

Этап 2.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$\frac{1}{y - 2} = x + 3$

Этап 2.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y - 2, 1, 1$

Этап 2.3.2

Избавимся от скобок.

$y - 2, 1, 1$

Этап 2.3.3

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$y - 2$

Этап 2.4

Каждый член в $\frac{1}{y - 2} = x + 3$ умножим на $y - 2$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим каждый член $\frac{1}{y - 2} = x + 3$ на $y - 2$ .

$\frac{1}{y - 2} (y - 2) = x (y - 2) + 3 (y - 2)$

Этап 2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Сократим общий множитель $y - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y - 2} (y - 2) = x (y - 2) + 3 (y - 2)$

Этап 2.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$1 = x (y - 2) + 3 (y - 2)$

Этап 2.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = x y + x \cdot - 2 + 3 (y - 2)$

Этап 2.4.3.1.2

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$1 = x y - 2 \cdot x + 3 (y - 2)$

Этап 2.4.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = x y - 2 x + 3 y + 3 \cdot - 2$

Этап 2.4.3.1.4

Умножим $3$ на $- 2$ .

$1 = x y - 2 x + 3 y - 6$

Этап 2.5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем уравнение в виде $x y - 2 x + 3 y - 6 = 1$ .

$x y - 2 x + 3 y - 6 = 1$

Этап 2.5.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Добавим $2 x$ к обеим частям уравнения.

$x y + 3 y - 6 = 1 + 2 x$

Этап 2.5.2.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x y + 3 y = 1 + 2 x + 6$

Этап 2.5.2.3

Добавим $1$ и $6$ .

$x y + 3 y = 2 x + 7$

Этап 2.5.3

Вынесем множитель $y$ из $x y + 3 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Вынесем множитель $y$ из $x y$ .

$y x + 3 y = 2 x + 7$

Этап 2.5.3.2

Вынесем множитель $y$ из $3 y$ .

$y x + y \cdot 3 = 2 x + 7$

Этап 2.5.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y x + y \cdot 3$ .

$y (x + 3) = 2 x + 7$

Этап 2.5.4

Разделим каждый член $y (x + 3) = 2 x + 7$ на $x + 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Разделим каждый член $y (x + 3) = 2 x + 7$ на $x + 3$ .

$\frac{y (x + 3)}{x + 3} = \frac{2 x}{x + 3} + \frac{7}{x + 3}$

Этап 2.5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.2.1

Сократим общий множитель $x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (x + 3)}{x + 3} = \frac{2 x}{x + 3} + \frac{7}{x + 3}$

Этап 2.5.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{2 x}{x + 3} + \frac{7}{x + 3}$

Этап 2.5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{2 x + 7}{x + 3}$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 7}{x + 3}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 7}{x + 3}$ обратной к $f (x) = \frac{1}{x - 2} - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{2 (\frac{1}{x - 2} - 3) + 7}{(\frac{1}{x - 2} - 3) + 3}$

Этап 4.2.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Умножим $\frac{2 (\frac{1}{x - 2} - 3) + 7}{\frac{1}{x - 2} - 3 + 3}$ на $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{x - 2}{x - 2} \cdot \frac{2 (\frac{1}{x - 2} - 3) + 7}{\frac{1}{x - 2} - 3 + 3}$

Этап 4.2.3.2

Объединим.

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1}{x - 2} - 3) + 7)}{(x - 2) (\frac{1}{x - 2} - 3 + 3)}$

Этап 4.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1}{x - 2} - 3)) + (x - 2) \cdot 7}{(x - 2) (\frac{1}{x - 2}) + (x - 2) \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Этап 4.2.5

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1}{x - 2} - 3)) + (x - 2) \cdot 7}{(x - 2) (\frac{1}{x - 2}) + (x - 2) \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Этап 4.2.5.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1}{x - 2} - 3)) + (x - 2) \cdot 7}{1 + (x - 2) \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Этап 4.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Вынесем множитель $x - 2$ из $(x - 2) \cdot 2 (\frac{1}{x - 2} - 3) + (x - 2) \cdot 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1.1

Вынесем множитель $x - 2$ из $(x - 2) \cdot 2 (\frac{1}{x - 2} - 3)$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1}{x - 2} - 3)) + (x - 2) \cdot 7}{1 + (x - 2) \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Этап 4.2.6.1.2

Вынесем множитель $x - 2$ из $(x - 2) \cdot 7$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1}{x - 2} - 3)) + (x - 2) (7)}{1 + (x - 2) \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Этап 4.2.6.1.3

Вынесем множитель $x - 2$ из $(x - 2) (2 (\frac{1}{x - 2} - 3)) + (x - 2) (7)$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1}{x - 2} - 3) + 7)}{1 + (x - 2) \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Этап 4.2.6.2

Чтобы записать $- 3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1}{x - 2} - 3 \cdot \frac{x - 2}{x - 2}) + 7)}{1 + (x - 2) \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Этап 4.2.6.3

Объединим $- 3$ и $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1}{x - 2} + \frac{- 3 (x - 2)}{x - 2}) + 7)}{1 + (x - 2) \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Этап 4.2.6.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1 - 3 (x - 2)}{x - 2}) + 7)}{1 + (x - 2) \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Этап 4.2.6.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1 - 3 x - 3 \cdot - 2}{x - 2}) + 7)}{1 + (x - 2) \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Этап 4.2.6.5.2

Умножим $- 3$ на $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1 - 3 x + 6}{x - 2}) + 7)}{1 + (x - 2) \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Этап 4.2.6.5.3

Добавим $1$ и $6$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{- 3 x + 7}{x - 2}) + 7)}{1 + (x - 2) \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Этап 4.2.6.6

Объединим $2$ и $\frac{- 3 x + 7}{x - 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (\frac{2 (- 3 x + 7)}{x - 2} + 7)}{1 + (x - 2) \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Этап 4.2.6.7

Чтобы записать $7$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (\frac{2 (- 3 x + 7)}{x - 2} + \frac{7 (x - 2)}{x - 2})}{1 + (x - 2) \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Этап 4.2.6.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (\frac{2 (- 3 x + 7) + 7 (x - 2)}{x - 2})}{1 + (x - 2) \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Этап 4.2.6.9

Изменим порядок членов.

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (\frac{7 (x - 2) + 2 (- 3 x + 7)}{x - 2})}{1 + (x - 2) \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Этап 4.2.6.10

Перепишем $\frac{7 (x - 2) + 2 (- 3 x + 7)}{x - 2}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (\frac{7 x + 7 \cdot - 2 + 2 (- 3 x + 7)}{x - 2})}{1 + (x - 2) \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Этап 4.2.6.10.2

Умножим $7$ на $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (\frac{7 x - 14 + 2 (- 3 x + 7)}{x - 2})}{1 + (x - 2) \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Этап 4.2.6.10.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (\frac{7 x - 14 + 2 (- 3 x) + 2 \cdot 7}{x - 2})}{1 + (x - 2) \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Этап 4.2.6.10.4

Умножим $- 3$ на $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (\frac{7 x - 14 - 6 x + 2 \cdot 7}{x - 2})}{1 + (x - 2) \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Этап 4.2.6.10.5

Умножим $2$ на $7$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (\frac{7 x - 14 - 6 x + 14}{x - 2})}{1 + (x - 2) \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Этап 4.2.6.10.6

Вычтем $6 x$ из $7 x$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (\frac{x - 14 + 14}{x - 2})}{1 + (x - 2) \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Этап 4.2.6.10.7

Добавим $- 14$ и $14$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (\frac{x + 0}{x - 2})}{1 + (x - 2) \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Этап 4.2.6.10.8

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (\frac{x}{x - 2})}{1 + (x - 2) \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Этап 4.2.7

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (\frac{x}{x - 2})}{1 + x \cdot - 3 - 2 \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Этап 4.2.7.2

Перенесем $- 3$ влево от $x$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (\frac{x}{x - 2})}{1 - 3 \cdot x - 2 \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Этап 4.2.7.3

Умножим $- 2$ на $- 3$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (\frac{x}{x - 2})}{1 - 3 \cdot x + 6 + (x - 2) \cdot 3}$

Этап 4.2.7.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (\frac{x}{x - 2})}{1 - 3 x + 6 + x \cdot 3 - 2 \cdot 3}$

Этап 4.2.7.5

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (\frac{x}{x - 2})}{1 - 3 x + 6 + 3 \cdot x - 2 \cdot 3}$

Этап 4.2.7.6

Умножим $- 2$ на $3$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (\frac{x}{x - 2})}{1 - 3 x + 6 + 3 \cdot x - 6}$

Этап 4.2.7.7

Добавим $1$ и $6$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (\frac{x}{x - 2})}{- 3 x + 7 + 3 x - 6}$

Этап 4.2.7.8

Добавим $- 3 x$ и $3 x$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (\frac{x}{x - 2})}{0 + 7 - 6}$

Этап 4.2.7.9

Добавим $0$ и $7$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (\frac{x}{x - 2})}{7 - 6}$

Этап 4.2.7.10

Вычтем $6$ из $7$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (\frac{x}{x - 2})}{1}$

Этап 4.2.8

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.1

Разделим $(x - 2) \frac{x}{x - 2}$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = (x - 2) (\frac{x}{x - 2})$

Этап 4.2.8.2

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.2.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = (x - 2) (\frac{x}{x - 2})$

Этап 4.2.8.2.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\frac{2 x + 7}{x + 3})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{2 x + 7}{x + 3}) = \frac{1}{(\frac{2 x + 7}{x + 3}) - 2} - 3$

Этап 4.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.1

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$f (\frac{2 x + 7}{x + 3}) = \frac{1}{\frac{2 x + 7}{x + 3} - 2 \cdot \frac{x + 3}{x + 3}} - 3$

Этап 4.3.3.1.2

Объединим $- 2$ и $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$f (\frac{2 x + 7}{x + 3}) = \frac{1}{\frac{2 x + 7}{x + 3} + \frac{- 2 (x + 3)}{x + 3}} - 3$

Этап 4.3.3.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{2 x + 7}{x + 3}) = \frac{1}{\frac{2 x + 7 - 2 (x + 3)}{x + 3}} - 3$

Этап 4.3.3.1.4

Перепишем $\frac{2 x + 7 - 2 (x + 3)}{x + 3}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{2 x + 7}{x + 3}) = \frac{1}{\frac{2 x + 7 - 2 x - 2 \cdot 3}{x + 3}} - 3$

Этап 4.3.3.1.4.2

Умножим $- 2$ на $3$ .

$f (\frac{2 x + 7}{x + 3}) = \frac{1}{\frac{2 x + 7 - 2 x - 6}{x + 3}} - 3$

Этап 4.3.3.1.4.3

Вычтем $2 x$ из $2 x$ .

$f (\frac{2 x + 7}{x + 3}) = \frac{1}{\frac{0 + 7 - 6}{x + 3}} - 3$

Этап 4.3.3.1.4.4

Добавим $0$ и $7$ .

$f (\frac{2 x + 7}{x + 3}) = \frac{1}{\frac{7 - 6}{x + 3}} - 3$

Этап 4.3.3.1.4.5

Вычтем $6$ из $7$ .

$f (\frac{2 x + 7}{x + 3}) = \frac{1}{\frac{1}{x + 3}} - 3$

Этап 4.3.3.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{2 x + 7}{x + 3}) = 1 (x + 3) - 3$

Этап 4.3.3.3

Умножим $x + 3$ на $1$ .

$f (\frac{2 x + 7}{x + 3}) = x + 3 - 3$

Этап 4.3.4

Объединим противоположные члены в $x + 3 - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Вычтем $3$ из $3$ .

$f (\frac{2 x + 7}{x + 3}) = x + 0$

Этап 4.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (\frac{2 x + 7}{x + 3}) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 7}{x + 3}$ — обратная к $f (x) = \frac{1}{x - 2} - 3$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 7}{x + 3}$