Тригонометрия Примеры

$y = \log_{2} (2 x - 3)$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \log_{2} (2 y - 3)$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\log_{2} (2 y - 3) = x$ .

$\log_{2} (2 y - 3) = x$

Этап 2.2

Перепишем $\log_{2} (2 y - 3) = x$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$2^{x} = 2 y - 3$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перепишем уравнение в виде $2 y - 3 = 2^{x}$ .

$2 y - 3 = 2^{x}$

Этап 2.3.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$2 y = 2^{x} + 3$

Этап 2.3.3

Разделим каждый член $2 y = 2^{x} + 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Разделим каждый член $2 y = 2^{x} + 3$ на $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{2^{x}}{2} + \frac{3}{2}$

Этап 2.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y}{2} = \frac{2^{x}}{2} + \frac{3}{2}$

Этап 2.3.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{2^{x}}{2} + \frac{3}{2}$

Этап 2.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.3.1

Сократим общий множитель $2^{x}$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2^{x}$ .

$y = \frac{2 \cdot 2^{x - 1}}{2} + \frac{3}{2}$

Этап 2.3.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$y = \frac{2 \cdot 2^{x - 1}}{2 (1)} + \frac{3}{2}$

Этап 2.3.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{2 \cdot 2^{x - 1}}{2 \cdot 1} + \frac{3}{2}$

Этап 2.3.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{2^{x - 1}}{1} + \frac{3}{2}$

Этап 2.3.3.3.1.2.4

Разделим $2^{x - 1}$ на $1$ .

$y = 2^{x - 1} + \frac{3}{2}$

Этап 2.3.3.3.2

Чтобы записать $2^{x - 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = 2^{x - 1} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}$

Этап 2.3.3.3.3

Объединим $2^{x - 1}$ и $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{2^{x - 1} \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}$

Этап 2.3.3.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{2^{x - 1} \cdot 2 + 3}{2}$

Этап 2.3.3.3.5

Умножим $2^{x - 1}$ на $2$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.3.5.1

Умножим $2^{x - 1}$ на $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.3.5.1.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$y = \frac{2^{x - 1} \cdot 2^{1} + 3}{2}$

Этап 2.3.3.3.5.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{2^{x - 1 + 1} + 3}{2}$

Этап 2.3.3.3.5.2

Объединим противоположные члены в $x - 1 + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.3.5.2.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$y = \frac{2^{x + 0} + 3}{2}$

Этап 2.3.3.3.5.2.2

Добавим $x$ и $0$ .

$y = \frac{2^{x} + 3}{2}$

Этап 3

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{2^{x} + 3}{2}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{2^{x} + 3}{2}$ обратной к $f (x) = \log_{2} (2 x - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\log_{2} (2 x - 3))$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{2} (2 x - 3)) = \frac{2^{\log_{2} (2 x - 3)} + 3}{2}$

Этап 4.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f^{- 1} (\log_{2} (2 x - 3)) = \frac{2 x - 3 + 3}{2}$

Этап 4.2.3.2

Добавим $- 3$ и $3$ .

$f^{- 1} (\log_{2} (2 x - 3)) = \frac{2 x + 0}{2}$

Этап 4.2.3.3

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\log_{2} (2 x - 3)) = \frac{2 x}{2}$

Этап 4.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\log_{2} (2 x - 3)) = \frac{2 x}{2}$

Этап 4.2.4.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (\log_{2} (2 x - 3)) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\frac{2^{x} + 3}{2})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{2^{x} + 3}{2}) = \log_{2} (2 (\frac{2^{x} + 3}{2}) - 3)$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{2^{x} + 3}{2}) = \log_{2} (2 (\frac{2^{x} + 3}{2}) - 3)$

Этап 4.3.3.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{2^{x} + 3}{2}) = \log_{2} (2^{x} + 3 - 3)$

Этап 4.3.4

Объединим противоположные члены в $2^{x} + 3 - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Вычтем $3$ из $3$ .

$f (\frac{2^{x} + 3}{2}) = \log_{2} (2^{x} + 0)$

Этап 4.3.4.2

Добавим $2^{x}$ и $0$ .

$f (\frac{2^{x} + 3}{2}) = \log_{2} (2^{x})$

Этап 4.3.5

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $x$ из степени.

$f (\frac{2^{x} + 3}{2}) = x \log_{2} (2)$

Этап 4.3.6

Логарифм $2$ по основанию $2$ равен $1$ .

$f (\frac{2^{x} + 3}{2}) = x \cdot 1$

Этап 4.3.7

Умножим $x$ на $1$ .

$f (\frac{2^{x} + 3}{2}) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{2^{x} + 3}{2}$ — обратная к $f (x) = \log_{2} (2 x - 3)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{2^{x} + 3}{2}$