Тригонометрия Примеры

$x = - 3 \cos (2 y)$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $- 3 \cos (2 y) = x$ .

$- 3 \cos (2 y) = x$

Этап 2

Разделим каждый член $- 3 \cos (2 y) = x$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разделим каждый член $- 3 \cos (2 y) = x$ на $- 3$ .

$\frac{- 3 \cos (2 y)}{- 3} = \frac{x}{- 3}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 \cos (2 y)}{- 3} = \frac{x}{- 3}$

Этап 2.2.1.2

Разделим $\cos (2 y)$ на $1$ .

$\cos (2 y) = \frac{x}{- 3}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\cos (2 y) = - \frac{x}{3}$

Этап 3

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из косинуса.

$2 y = \arccos (- \frac{x}{3})$

Этап 4

Разделим каждый член $2 y = \arccos (- \frac{x}{3})$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $2 y = \arccos (- \frac{x}{3})$ на $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arccos (- \frac{x}{3})}{2}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arccos (- \frac{x}{3})}{2}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{x}{3})}{2}$

Этап 5

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{\arccos (- \frac{y}{3})}{2}$

Этап 6

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{\arccos (- \frac{y}{3})}{2} = x$ .

$\frac{\arccos (- \frac{y}{3})}{2} = x$

Этап 6.2

Умножим обе части на $2$ .

$\frac{\arccos (- \frac{y}{3})}{2} \cdot 2 = x \cdot 2$

Этап 6.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\arccos (- \frac{y}{3})}{2} \cdot 2 = x \cdot 2$

Этап 6.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\arccos (- \frac{y}{3}) = x \cdot 2$

Этап 6.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\arccos (- \frac{y}{3}) = 2 x$

Этап 6.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Возьмем обратный арккосинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из арккосинуса.

$- \frac{y}{3} = \cos (2 x)$

Этап 6.4.2

Умножим обе части уравнения на $- 3$ .

$- 3 (- \frac{y}{3}) = - 3 \cos (2 x)$

Этап 6.4.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.1

Упростим $- 3 (- \frac{y}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{y}{3}$ в числитель.

$- 3 \frac{- y}{3} = - 3 \cos (2 x)$

Этап 6.4.3.1.1.2

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$3 (- 1) \frac{- y}{3} = - 3 \cos (2 x)$

Этап 6.4.3.1.1.3

Сократим общий множитель.

$3 \cdot - 1 \frac{- y}{3} = - 3 \cos (2 x)$

Этап 6.4.3.1.1.4

Перепишем это выражение.

$- - y = - 3 \cos (2 x)$

Этап 6.4.3.1.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 y = - 3 \cos (2 x)$

Этап 6.4.3.1.2.2

Умножим $y$ на $1$ .

$y = - 3 \cos (2 x)$

Этап 7

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = - 3 \cos (2 x)$

Этап 8

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = - 3 \cos (2 x)$ обратной к $f (x) = \frac{\arccos (- \frac{x}{3})}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 8.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 8.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{\arccos (- \frac{x}{3})}{2})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{\arccos (- \frac{x}{3})}{2}) = - 3 \cos (2 (\frac{\arccos (- \frac{x}{3})}{2}))$

Этап 8.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{\arccos (- \frac{x}{3})}{2}) = - 3 \cos (2 (\frac{\arccos (- \frac{x}{3})}{2}))$

Этап 8.2.3.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{\arccos (- \frac{x}{3})}{2}) = - 3 \cos (\arccos (- \frac{x}{3}))$

Этап 8.2.4

Косинус и арккосинус — обратные функции.

$f^{- 1} (\frac{\arccos (- \frac{x}{3})}{2}) = - 3 (- \frac{x}{3})$

Этап 8.2.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x}{3}$ в числитель.

$f^{- 1} (\frac{\arccos (- \frac{x}{3})}{2}) = - 3 \frac{- x}{3}$

Этап 8.2.5.2

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$f^{- 1} (\frac{\arccos (- \frac{x}{3})}{2}) = 3 (- 1) (\frac{- x}{3})$

Этап 8.2.5.3

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{\arccos (- \frac{x}{3})}{2}) = 3 \cdot (- 1 \frac{- x}{3})$

Этап 8.2.5.4

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{\arccos (- \frac{x}{3})}{2}) = - 1 (- x)$

Этап 8.2.6

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{\arccos (- \frac{x}{3})}{2}) = 1 x$

Этап 8.2.6.2

Умножим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{\arccos (- \frac{x}{3})}{2}) = x$

Этап 8.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 8.3.2

Найдем значение $f (- 3 \cos (2 x))$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (- 3 \cos (2 x)) = \frac{\arccos (- \frac{- 3 \cos (2 x)}{3})}{2}$

Этап 8.3.3

Сократим общий множитель $- 3$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 \cos (2 x)$ .

$f (- 3 \cos (2 x)) = \frac{\arccos (- \frac{3 (- \cos (2 x))}{3})}{2}$

Этап 8.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$f (- 3 \cos (2 x)) = \frac{\arccos (- \frac{3 (- \cos (2 x))}{3 (1)})}{2}$

Этап 8.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- 3 \cos (2 x)) = \frac{\arccos (- \frac{3 (- \cos (2 x))}{3 \cdot 1})}{2}$

Этап 8.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- 3 \cos (2 x)) = \frac{\arccos (- \frac{- \cos (2 x)}{1})}{2}$

Этап 8.3.3.2.4

Разделим $- \cos (2 x)$ на $1$ .

$f (- 3 \cos (2 x)) = \frac{\arccos (\cos (2 x))}{2}$

Этап 8.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = - 3 \cos (2 x)$ — обратная к $f (x) = \frac{\arccos (- \frac{x}{3})}{2}$ .

$f^{- 1} (x) = - 3 \cos (2 x)$