Тригонометрия Примеры

$y = \frac{1}{3^{x}}$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{1}{3^{y}}$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{3^{y}} = x$ .

$\frac{1}{3^{y}} = x$

Этап 2.2

Умножим обе части на $3^{y}$ .

$\frac{1}{3^{y}} \cdot 3^{y} = x \cdot 3^{y}$

Этап 2.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель $3^{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3^{y}} \cdot 3^{y} = x \cdot 3^{y}$

Этап 2.3.1.2

Перепишем это выражение.

$1 = x \cdot 3^{y}$

Этап 2.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перепишем уравнение в виде $x \cdot 3^{y} = 1$ .

$x \cdot 3^{y} = 1$

Этап 2.4.2

Разделим каждый член $x \cdot 3^{y} = 1$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Разделим каждый член $x \cdot 3^{y} = 1$ на $x$ .

$\frac{x \cdot 3^{y}}{x} = \frac{1}{x}$

Этап 2.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \cdot 3^{y}}{x} = \frac{1}{x}$

Этап 2.4.2.2.1.2

Разделим $3^{y}$ на $1$ .

$3^{y} = \frac{1}{x}$

Этап 2.4.3

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (3^{y}) = \ln (\frac{1}{x})$

Этап 2.4.4

Развернем $\ln (3^{y})$ , вынося $y$ из логарифма.

$y \ln (3) = \ln (\frac{1}{x})$

Этап 2.4.5

Разделим каждый член $y \ln (3) = \ln (\frac{1}{x})$ на $\ln (3)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.1

Разделим каждый член $y \ln (3) = \ln (\frac{1}{x})$ на $\ln (3)$ .

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}$

Этап 2.4.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.2.1

Сократим общий множитель $\ln (3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}$

Этап 2.4.5.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}$

Этап 3

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}$ обратной к $f (x) = \frac{1}{3^{x}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{1}{3^{x}})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3^{x}}) = \frac{\ln (\frac{1}{\frac{1}{3^{x}}})}{\ln (3)}$

Этап 4.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f^{- 1} (\frac{1}{3^{x}}) = \frac{\ln (1 \cdot 3^{x})}{\ln (3)}$

Этап 4.2.3.2

Умножим $3^{x}$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3^{x}}) = \frac{\ln (3^{x})}{\ln (3)}$

Этап 4.2.4

Развернем $\ln (3^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$f^{- 1} (\frac{1}{3^{x}}) = \frac{x \ln (3)}{\ln (3)}$

Этап 4.2.5

Сократим общий множитель $\ln (3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{1}{3^{x}}) = \frac{x \ln (3)}{\ln (3)}$

Этап 4.2.5.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3^{x}}) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}) = \frac{1}{3^{\frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}}}$

Этап 4.3.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Используем изменение основного правила $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}) = \frac{1}{3^{\log_{3} (\frac{1}{x})}}$

Этап 4.3.3.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f (\frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Этап 4.3.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}) = 1 x$

Этап 4.3.5

Умножим $x$ на $1$ .

$f (\frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}$ — обратная к $f (x) = \frac{1}{3^{x}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}$