Тригонометрия Примеры

$y = \frac{1}{4} \cdot \cos (3 x)$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{1}{4} \cdot \cos (3 y)$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{4} \cdot \cos (3 y) = x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \cos (3 y) = x$

Этап 2.2

Умножим обе части уравнения на $4$ .

$4 (\frac{1}{4} \cos (3 y)) = 4 x$

Этап 2.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $4 (\frac{1}{4} \cos (3 y))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $\cos (3 y)$ .

$4 \frac{\cos (3 y)}{4} = 4 x$

Этап 2.3.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$4 \frac{\cos (3 y)}{4} = 4 x$

Этап 2.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\cos (3 y) = 4 x$

Этап 2.4

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из косинуса.

$3 y = \arccos (4 x)$

Этап 2.5

Разделим каждый член $3 y = \arccos (4 x)$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Разделим каждый член $3 y = \arccos (4 x)$ на $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\arccos (4 x)}{3}$

Этап 2.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\arccos (4 x)}{3}$

Этап 2.5.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\arccos (4 x)}{3}$

Этап 3

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (4 x)}{3}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (4 x)}{3}$ обратной к $f (x) = \frac{1}{4} \cdot \cos (3 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{1}{4} \cdot \cos (3 x))$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{4} \cdot \cos (3 x)) = \frac{\arccos (4 (\frac{1}{4} \cdot \cos (3 x)))}{3}$

Этап 4.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{1}{4} \cdot \cos (3 x)) = \frac{\arccos (4 (\frac{1}{4}) \cdot \cos (3 x))}{3}$

Этап 4.2.3.1.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{1}{4} \cdot \cos (3 x)) = \frac{\arccos (1 \cdot \cos (3 x))}{3}$

Этап 4.2.3.2

Умножим $\cos (3 x)$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{4} \cdot \cos (3 x)) = \frac{\arccos (\cos (3 x))}{3}$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\frac{\arccos (4 x)}{3})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{\arccos (4 x)}{3}) = \frac{1}{4} \cdot \cos (3 (\frac{\arccos (4 x)}{3}))$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\arccos (4 x)}{3}) = \frac{1}{4} \cdot \cos (3 (\frac{\arccos (4 x)}{3}))$

Этап 4.3.3.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\arccos (4 x)}{3}) = \frac{1}{4} \cdot \cos (\arccos (4 x))$

Этап 4.3.4

Косинус и арккосинус — обратные функции.

$f (\frac{\arccos (4 x)}{3}) = \frac{1}{4} \cdot (4 x)$

Этап 4.3.5

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x$ .

$f (\frac{\arccos (4 x)}{3}) = \frac{1}{4} \cdot (4 (x))$

Этап 4.3.5.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\arccos (4 x)}{3}) = \frac{1}{4} \cdot (4 x)$

Этап 4.3.5.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\arccos (4 x)}{3}) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (4 x)}{3}$ — обратная к $f (x) = \frac{1}{4} \cdot \cos (3 x)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (4 x)}{3}$