Тригонометрия Примеры

$y = \frac{1}{4} x^{2} - 3$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{1}{4} y^{2} - 3$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{4} y^{2} - 3 = x$ .

$\frac{1}{4} y^{2} - 3 = x$

Этап 2.2

Объединим $\frac{1}{4}$ и $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{4} - 3 = x$

Этап 2.3

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$\frac{y^{2}}{4} = x + 3$

Этап 2.4

Умножим обе части уравнения на $4$ .

$4 \frac{y^{2}}{4} = 4 (x + 3)$

Этап 2.5

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1.1

Сократим общий множитель.

$4 \frac{y^{2}}{4} = 4 (x + 3)$

Этап 2.5.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} = 4 (x + 3)$

Этап 2.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Упростим $4 (x + 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} = 4 x + 4 \cdot 3$

Этап 2.5.2.1.2

Умножим $4$ на $3$ .

$y^{2} = 4 x + 12$

Этап 2.6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{4 x + 12}$

Этап 2.7

Упростим $\pm \sqrt{4 x + 12}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x + 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x$ .

$y = \pm \sqrt{4 (x) + 12}$

Этап 2.7.1.2

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$y = \pm \sqrt{4 x + 4 \cdot 3}$

Этап 2.7.1.3

Вынесем множитель $4$ из $4 x + 4 \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{4 (x + 3)}$

Этап 2.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{2^{2} (x + 3)}$

Этап 2.7.3

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \pm 2 \sqrt{x + 3}$

Этап 2.8

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = 2 \sqrt{x + 3}$

Этап 2.8.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - 2 \sqrt{x + 3}$

Этап 2.8.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = 2 \sqrt{x + 3}$

$y = - 2 \sqrt{x + 3}$

$y = 2 \sqrt{x + 3}$

$y = - 2 \sqrt{x + 3}$

$y = 2 \sqrt{x + 3}$

$y = - 2 \sqrt{x + 3}$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 2 \sqrt{x + 3}, - 2 \sqrt{x + 3}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = 2 \sqrt{x + 3}, - 2 \sqrt{x + 3}$ обратной к $f (x) = \frac{1}{4} x^{2} - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = \frac{1}{4} x^{2} - 3$ и $f^{- 1} (x) = 2 \sqrt{x + 3}, - 2 \sqrt{x + 3}$ и сравним их.

Этап 4.2

Найдем множество значений $f (x) = \frac{1}{4} x^{2} - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[- 3, \infty)$

Этап 4.3

Найдем область определения $2 \sqrt{x + 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x + 3}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x + 3 \geq 0$

Этап 4.3.2

Вычтем $3$ из обеих частей неравенства.

$x \geq - 3$

Этап 4.3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[- 3, \infty)$

Этап 4.4

Найдем область определения $f (x) = \frac{1}{4} x^{2} - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

$(- \infty, \infty)$

Этап 4.5

Так как область определения $f^{- 1} (x) = 2 \sqrt{x + 3}, - 2 \sqrt{x + 3}$ представляет множество значений, определяемых уравнением $f (x) = \frac{1}{4} x^{2} - 3$ , а множество значений, определяемое уравнениями $f^{- 1} (x) = 2 \sqrt{x + 3}, - 2 \sqrt{x + 3}$ , представляет область определения $f (x) = \frac{1}{4} x^{2} - 3$ , то $f^{- 1} (x) = 2 \sqrt{x + 3}, - 2 \sqrt{x + 3}$ — обратная к $f (x) = \frac{1}{4} x^{2} - 3$ .

$f^{- 1} (x) = 2 \sqrt{x + 3}, - 2 \sqrt{x + 3}$

Этап 5