Тригонометрия Примеры

$\sin (x) \sqrt{\frac{3}{2}}$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \sin (y) \sqrt{\frac{3}{2}}$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\sin (y) \sqrt{\frac{3}{2}} = x$ .

$\sin (y) \sqrt{\frac{3}{2}} = x$

Этап 2.2

Разделим каждый член $\sin (y) \sqrt{\frac{3}{2}} = x$ на $\sqrt{\frac{3}{2}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим каждый член $\sin (y) \sqrt{\frac{3}{2}} = x$ на $\sqrt{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{\sin (y) \sqrt{\frac{3}{2}}}{\sqrt{\frac{3}{2}}} = \frac{x}{\sqrt{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель $\sqrt{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sin (y) \sqrt{\frac{3}{2}}}{\sqrt{\frac{3}{2}}} = \frac{x}{\sqrt{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.2.2.1.2

Разделим $\sin (y)$ на $1$ .

$\sin (y) = \frac{x}{\sqrt{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Перепишем $\sqrt{\frac{3}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (y) = \frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}$

Этап 2.2.3.1.2

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (y) = \frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}$

Этап 2.2.3.1.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (y) = \frac{x}{\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}}$

Этап 2.2.3.1.3.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\sin (y) = \frac{x}{\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}}$

Этап 2.2.3.1.3.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\sin (y) = \frac{x}{\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}}$

Этап 2.2.3.1.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin (y) = \frac{x}{\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}}$

Этап 2.2.3.1.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin (y) = \frac{x}{\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}}$

Этап 2.2.3.1.3.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (y) = \frac{x}{\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}$

Этап 2.2.3.1.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (y) = \frac{x}{\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}$

Этап 2.2.3.1.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sin (y) = \frac{x}{\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}}$

Этап 2.2.3.1.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\sin (y) = \frac{x}{\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}}$

Этап 2.2.3.1.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\sin (y) = \frac{x}{\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{1}}}$

Этап 2.2.3.1.3.6.5

Найдем экспоненту.

$\sin (y) = \frac{x}{\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2}}$

Этап 2.2.3.1.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.4.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\sin (y) = \frac{x}{\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2}}$

Этап 2.2.3.1.4.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\sin (y) = \frac{x}{\frac{\sqrt{6}}{2}}$

Этап 2.2.3.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\sin (y) = x \frac{2}{\sqrt{6}}$

Этап 2.2.3.3

Умножим $\frac{2}{\sqrt{6}}$ на $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\sin (y) = x (\frac{2}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}})$

Этап 2.2.3.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.4.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{6}}$ на $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\sin (y) = x \frac{2 \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Этап 2.2.3.4.2

Возведем $\sqrt{6}$ в степень $1$ .

$\sin (y) = x \frac{2 \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

Этап 2.2.3.4.3

Возведем $\sqrt{6}$ в степень $1$ .

$\sin (y) = x \frac{2 \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

Этап 2.2.3.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin (y) = x \frac{2 \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Этап 2.2.3.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin (y) = x \frac{2 \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

Этап 2.2.3.4.6

Перепишем ${\sqrt{6}}^{2}$ в виде $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6}$ в виде $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (y) = x \frac{2 \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.2.3.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (y) = x \frac{2 \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.2.3.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sin (y) = x \frac{2 \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.2.3.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\sin (y) = x \frac{2 \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.2.3.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\sin (y) = x \frac{2 \sqrt{6}}{6^{1}}$

Этап 2.2.3.4.6.5

Найдем экспоненту.

$\sin (y) = x \frac{2 \sqrt{6}}{6}$

Этап 2.2.3.5

Сократим общий множитель $2$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.5.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{6}$ .

$\sin (y) = x \frac{2 (\sqrt{6})}{6}$

Этап 2.2.3.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\sin (y) = x \frac{2 \sqrt{6}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\sin (y) = x \frac{2 \sqrt{6}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\sin (y) = x \frac{\sqrt{6}}{3}$

Этап 2.2.3.6

Объединим $x$ и $\frac{\sqrt{6}}{3}$ .

$\sin (y) = \frac{x \sqrt{6}}{3}$

Этап 2.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из синуса.

$y = \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})$ обратной к $f (x) = \sin (x) \sqrt{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\sin (x) \sqrt{\frac{3}{2}})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sin (x) \sqrt{\frac{3}{2}}) = \arcsin (\frac{(\sin (x) \sqrt{\frac{3}{2}}) \sqrt{6}}{3})$

Этап 4.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$f^{- 1} (\sin (x) \sqrt{\frac{3}{2}}) = \arcsin (\frac{\sin (x) \sqrt{6 (\frac{3}{2})}}{3})$

Этап 4.2.3.2

Объединим $6$ и $\frac{3}{2}$ .

$f^{- 1} (\sin (x) \sqrt{\frac{3}{2}}) = \arcsin (\frac{\sin (x) \sqrt{\frac{6 \cdot 3}{2}}}{3})$

Этап 4.2.4

Умножим $6$ на $3$ .

$f^{- 1} (\sin (x) \sqrt{\frac{3}{2}}) = \arcsin (\frac{\sin (x) \sqrt{\frac{18}{2}}}{3})$

Этап 4.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Разделим $18$ на $2$ .

$f^{- 1} (\sin (x) \sqrt{\frac{3}{2}}) = \arcsin (\frac{\sin (x) \sqrt{9}}{3})$

Этап 4.2.5.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$f^{- 1} (\sin (x) \sqrt{\frac{3}{2}}) = \arcsin (\frac{\sin (x) \sqrt{3^{2}}}{3})$

Этап 4.2.5.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f^{- 1} (\sin (x) \sqrt{\frac{3}{2}}) = \arcsin (\frac{\sin (x) \cdot 3}{3})$

Этап 4.2.6

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\sin (x) \sqrt{\frac{3}{2}}) = \arcsin (\frac{\sin (x) \cdot 3}{3})$

Этап 4.2.6.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$f^{- 1} (\sin (x) \sqrt{\frac{3}{2}}) = \arcsin (\sin (x))$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3}))$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \sin (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) \sqrt{\frac{3}{2}}$

Этап 4.3.3

Синус и арксинус — обратные функции.

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \sqrt{6}}{3} \cdot \sqrt{\frac{3}{2}}$

Этап 4.3.4

Перепишем $\sqrt{\frac{3}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Этап 4.3.5

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \sqrt{6}}{3} \cdot (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Этап 4.3.6

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.1

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 4.3.6.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 4.3.6.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 4.3.6.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 4.3.6.5

Добавим $1$ и $1$ .

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 4.3.6.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.3.6.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.3.6.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.3.6.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.6.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.3.6.6.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2}$

Этап 4.3.6.6.5

Найдем экспоненту.

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2}$

Этап 4.3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2}$

Этап 4.3.7.2

Умножим $3$ на $2$ .

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{6}}{2}$

Этап 4.3.8

Умножим $\frac{x \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{6}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.8.1

Умножим $\frac{x \sqrt{6}}{3}$ на $\frac{\sqrt{6}}{2}$ .

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \sqrt{6} \sqrt{6}}{3 \cdot 2}$

Этап 4.3.8.2

Возведем $\sqrt{6}$ в степень $1$ .

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x (\sqrt{6} \sqrt{6})}{3 \cdot 2}$

Этап 4.3.8.3

Возведем $\sqrt{6}$ в степень $1$ .

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x (\sqrt{6} \sqrt{6})}{3 \cdot 2}$

Этап 4.3.8.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x {\sqrt{6}}^{1 + 1}}{3 \cdot 2}$

Этап 4.3.8.5

Добавим $1$ и $1$ .

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x {\sqrt{6}}^{2}}{3 \cdot 2}$

Этап 4.3.8.6

Умножим $3$ на $2$ .

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x {\sqrt{6}}^{2}}{6}$

Этап 4.3.9

Перепишем ${\sqrt{6}}^{2}$ в виде $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.9.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6}$ в виде $6^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6}$

Этап 4.3.9.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6}$

Этап 4.3.9.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \cdot 6^{\frac{2}{2}}}{6}$

Этап 4.3.9.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.9.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \cdot 6^{\frac{2}{2}}}{6}$

Этап 4.3.9.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \cdot 6}{6}$

Этап 4.3.9.5

Найдем экспоненту.

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \cdot 6}{6}$

Этап 4.3.10

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.10.1

Сократим общий множитель.

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \cdot 6}{6}$

Этап 4.3.10.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})$ — обратная к $f (x) = \sin (x) \sqrt{\frac{3}{2}}$ .

$f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})$