Тригонометрия Примеры

$\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{\sin (y) \sqrt{2}}{2}$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{\sin (y) \sqrt{2}}{2} = x$ .

$\frac{\sin (y) \sqrt{2}}{2} = x$

Этап 2.2

Умножим обе части уравнения на $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sin (y) \sqrt{2}}{2} = \frac{2}{\sqrt{2}} x$

Этап 2.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Упростим $\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sin (y) \sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sin (y) \sqrt{2}}{2} = \frac{2}{\sqrt{2}} x$

Этап 2.3.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\sqrt{2}} (\sin (y) \sqrt{2}) = \frac{2}{\sqrt{2}} x$

Этап 2.3.1.1.2

Сократим общий множитель $\sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $\sqrt{2}$ из $\sin (y) \sqrt{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} (\sqrt{2} \sin (y)) = \frac{2}{\sqrt{2}} x$

Этап 2.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\sqrt{2}} (\sqrt{2} \sin (y)) = \frac{2}{\sqrt{2}} x$

Этап 2.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\sin (y) = \frac{2}{\sqrt{2}} x$

Этап 2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Упростим $\frac{2}{\sqrt{2}} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (y) = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} x$

Этап 2.3.2.1.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.2.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (y) = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} x$

Этап 2.3.2.1.2.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\sin (y) = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} x$

Этап 2.3.2.1.2.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\sin (y) = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} x$

Этап 2.3.2.1.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin (y) = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} x$

Этап 2.3.2.1.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin (y) = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} x$

Этап 2.3.2.1.2.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (y) = \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} x$

Этап 2.3.2.1.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (y) = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} x$

Этап 2.3.2.1.2.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sin (y) = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} x$

Этап 2.3.2.1.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\sin (y) = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} x$

Этап 2.3.2.1.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\sin (y) = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} x$

Этап 2.3.2.1.2.6.5

Найдем экспоненту.

$\sin (y) = \frac{2 \sqrt{2}}{2} x$

Этап 2.3.2.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\sin (y) = \frac{2 \sqrt{2}}{2} x$

Этап 2.3.2.1.3.2

Разделим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$\sin (y) = \sqrt{2} x$

Этап 2.4

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из синуса.

$y = \arcsin (\sqrt{2} x)$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \arcsin (\sqrt{2} x)$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \arcsin (\sqrt{2} x)$ обратной к $f (x) = \frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}) = \arcsin (\sqrt{2} (\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}))$

Этап 4.2.3

Умножим $\sqrt{2} (\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Объединим $\sqrt{2}$ и $\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}) = \arcsin (\frac{\sqrt{2} (\sin (x) \sqrt{2})}{2})$

Этап 4.2.3.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$f^{- 1} (\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}) = \arcsin (\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} \sin (x)}{2})$

Этап 4.2.3.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$f^{- 1} (\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}) = \arcsin (\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} \sin (x)}{2})$

Этап 4.2.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f^{- 1} (\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}) = \arcsin (\frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1} \sin (x)}{2})$

Этап 4.2.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$f^{- 1} (\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}) = \arcsin (\frac{{\sqrt{2}}^{2} \sin (x)}{2})$

Этап 4.2.4

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}) = \arcsin (\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} \sin (x)}{2})$

Этап 4.2.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}) = \arcsin (\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sin (x)}{2})$

Этап 4.2.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}) = \arcsin (\frac{2^{\frac{2}{2}} \sin (x)}{2})$

Этап 4.2.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}) = \arcsin (\frac{2^{\frac{2}{2}} \sin (x)}{2})$

Этап 4.2.4.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}) = \arcsin (\frac{2 \sin (x)}{2})$

Этап 4.2.4.5

Найдем экспоненту.

$f^{- 1} (\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}) = \arcsin (\frac{2 \sin (x)}{2})$

Этап 4.2.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}) = \arcsin (\frac{2 \sin (x)}{2})$

Этап 4.2.5.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}) = \arcsin (\sin (x))$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\arcsin (\sqrt{2} x))$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\arcsin (\sqrt{2} x)) = \frac{\sin (\arcsin (\sqrt{2} x)) \sqrt{2}}{2}$

Этап 4.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Синус и арксинус — обратные функции.

$f (\arcsin (\sqrt{2} x)) = \frac{\sqrt{2} x \sqrt{2}}{2}$

Этап 4.3.3.2

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$f (\arcsin (\sqrt{2} x)) = \frac{x (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2}$

Этап 4.3.3.2.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$f (\arcsin (\sqrt{2} x)) = \frac{x (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2}$

Этап 4.3.3.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (\arcsin (\sqrt{2} x)) = \frac{x {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2}$

Этап 4.3.3.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$f (\arcsin (\sqrt{2} x)) = \frac{x {\sqrt{2}}^{2}}{2}$

Этап 4.3.3.3

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\arcsin (\sqrt{2} x)) = \frac{x {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

Этап 4.3.3.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\arcsin (\sqrt{2} x)) = \frac{x \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

Этап 4.3.3.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\arcsin (\sqrt{2} x)) = \frac{x \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2}$

Этап 4.3.3.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\arcsin (\sqrt{2} x)) = \frac{x \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2}$

Этап 4.3.3.3.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\arcsin (\sqrt{2} x)) = \frac{x \cdot 2}{2}$

Этап 4.3.3.3.5

Найдем экспоненту.

$f (\arcsin (\sqrt{2} x)) = \frac{x \cdot 2}{2}$

Этап 4.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\arcsin (\sqrt{2} x)) = \frac{x \cdot 2}{2}$

Этап 4.3.4.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f (\arcsin (\sqrt{2} x)) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \arcsin (\sqrt{2} x)$ — обратная к $f (x) = \frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}$ .

$f^{- 1} (x) = \arcsin (\sqrt{2} x)$