Тригонометрия Примеры

$\tan (- \frac{5 x}{6})$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \tan (- \frac{5 y}{6})$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\tan (- \frac{5 y}{6}) = x$ .

$\tan (- \frac{5 y}{6}) = x$

Этап 2.2

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из тангенса.

$- \frac{5 y}{6} = \arctan (x)$

Этап 2.3

Умножим обе части уравнения на $- \frac{6}{5}$ .

$- \frac{6}{5} (- \frac{5 y}{6}) = - \frac{6}{5} \arctan (x)$

Этап 2.4

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Упростим $- \frac{6}{5} (- \frac{5 y}{6})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{6}{5}$ в числитель.

$\frac{- 6}{5} (- \frac{5 y}{6}) = - \frac{6}{5} \arctan (x)$

Этап 2.4.1.1.1.2

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{5 y}{6}$ в числитель.

$\frac{- 6}{5} \cdot \frac{- 5 y}{6} = - \frac{6}{5} \arctan (x)$

Этап 2.4.1.1.1.3

Вынесем множитель $6$ из $- 6$ .

$\frac{6 (- 1)}{5} \cdot \frac{- 5 y}{6} = - \frac{6}{5} \arctan (x)$

Этап 2.4.1.1.1.4

Сократим общий множитель.

$\frac{6 \cdot - 1}{5} \cdot \frac{- 5 y}{6} = - \frac{6}{5} \arctan (x)$

Этап 2.4.1.1.1.5

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{5} (- 5 y) = - \frac{6}{5} \arctan (x)$

Этап 2.4.1.1.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1.2.1

Вынесем множитель $5$ из $- 5 y$ .

$\frac{- 1}{5} (5 (- y)) = - \frac{6}{5} \arctan (x)$

Этап 2.4.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{5} (5 (- y)) = - \frac{6}{5} \arctan (x)$

Этап 2.4.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$- - y = - \frac{6}{5} \arctan (x)$

Этап 2.4.1.1.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 y = - \frac{6}{5} \arctan (x)$

Этап 2.4.1.1.3.2

Умножим $y$ на $1$ .

$y = - \frac{6}{5} \arctan (x)$

Этап 2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Упростим $- \frac{6}{5} \arctan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Объединим $\arctan (x)$ и $\frac{6}{5}$ .

$y = - \frac{\arctan (x) \cdot 6}{5}$

Этап 2.4.2.1.2

Перенесем $6$ влево от $\arctan (x)$ .

$y = - \frac{6 \arctan (x)}{5}$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{6 \arctan (x)}{5}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = - \frac{6 \arctan (x)}{5}$ обратной к $f (x) = \tan (- \frac{5 x}{6})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\tan (- \frac{5 x}{6}))$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\tan (- \frac{5 x}{6})) = - \frac{6 \arctan (\tan (- \frac{5 x}{6}))}{5}$

Этап 4.2.3

Так как $\tan (- \frac{5 x}{6})$ — нечетная функция, перепишем $\tan (- \frac{5 x}{6})$ в виде $- \tan (\frac{5 x}{6})$ .

$f^{- 1} (\tan (- \frac{5 x}{6})) = - \frac{6 \arctan (- \tan (\frac{5 x}{6}))}{5}$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (- \frac{6 \arctan (x)}{5})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (- \frac{6 \arctan (x)}{5}) = \tan (- \frac{5 (- \frac{6 \arctan (x)}{5})}{6})$

Этап 4.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$f (- \frac{6 \arctan (x)}{5}) = \tan (- \frac{- 5 \frac{6 \arctan (x)}{5}}{6})$

Этап 4.3.3.2

Объединим $- 5$ и $\frac{6 \arctan (x)}{5}$ .

$f (- \frac{6 \arctan (x)}{5}) = \tan (- \frac{\frac{- 5 (6 \arctan (x))}{5}}{6})$

Этап 4.3.4

Умножим $- 5$ на $6$ .

$f (- \frac{6 \arctan (x)}{5}) = \tan (- \frac{\frac{- 30 \arctan (x)}{5}}{6})$

Этап 4.3.5

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Сократим выражение $\frac{- 30 \arctan (x)}{5}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1.1

Вынесем множитель $5$ из $- 30 \arctan (x)$ .

$f (- \frac{6 \arctan (x)}{5}) = \tan (- \frac{\frac{5 (- 6 \arctan (x))}{5}}{6})$

Этап 4.3.5.1.2

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$f (- \frac{6 \arctan (x)}{5}) = \tan (- \frac{\frac{5 (- 6 \arctan (x))}{5 (1)}}{6})$

Этап 4.3.5.1.3

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{6 \arctan (x)}{5}) = \tan (- \frac{\frac{5 (- 6 \arctan (x))}{5 \cdot 1}}{6})$

Этап 4.3.5.1.4

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{6 \arctan (x)}{5}) = \tan (- \frac{\frac{- 6 \arctan (x)}{1}}{6})$

Этап 4.3.5.2

Разделим $- 6 \arctan (x)$ на $1$ .

$f (- \frac{6 \arctan (x)}{5}) = \tan (- \frac{- 6 \arctan (x)}{6})$

Этап 4.3.6

Сократим общий множитель $- 6$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.1

Вынесем множитель $6$ из $- 6 \arctan (x)$ .

$f (- \frac{6 \arctan (x)}{5}) = \tan (- \frac{6 (- \arctan (x))}{6})$

Этап 4.3.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.2.1

Вынесем множитель $6$ из $6$ .

$f (- \frac{6 \arctan (x)}{5}) = \tan (- \frac{6 (- \arctan (x))}{6 (1)})$

Этап 4.3.6.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{6 \arctan (x)}{5}) = \tan (- \frac{6 (- \arctan (x))}{6 \cdot 1})$

Этап 4.3.6.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{6 \arctan (x)}{5}) = \tan (- \frac{- \arctan (x)}{1})$

Этап 4.3.6.2.4

Разделим $- \arctan (x)$ на $1$ .

$f (- \frac{6 \arctan (x)}{5}) = \tan (\arctan (x))$

Этап 4.3.7

Тангенс и арктангенс — обратные функции.

$f (- \frac{6 \arctan (x)}{5}) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = - \frac{6 \arctan (x)}{5}$ — обратная к $f (x) = \tan (- \frac{5 x}{6})$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{6 \arctan (x)}{5}$