Тригонометрия Примеры

$x = y^{2} - 2 y$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $y^{2} - 2 y = x$ .

$y^{2} - 2 y = x$

Этап 2

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} - 2 y - x = 0$

Этап 3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 2$ и $c = - x$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.3

Вынесем множитель $4$ из $4 + 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.3.2

Вынесем множитель $4$ из $4 \cdot 1 + 4 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1 + x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.4

Перепишем $4 (1 + x)$ в виде $2^{2} (1^{2} + x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.4.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} + x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1^{2} + x}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.6

Единица в любой степени равна единице.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2}$

Этап 5.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{1 + x}$

Этап 6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.3

Вынесем множитель $4$ из $4 + 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.3.2

Вынесем множитель $4$ из $4 \cdot 1 + 4 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1 + x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.4

Перепишем $4 (1 + x)$ в виде $2^{2} (1^{2} + x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.4.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} + x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1^{2} + x}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.6

Единица в любой степени равна единице.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2}$

Этап 6.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{1 + x}$

Этап 6.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = 1 + \sqrt{1 + x}$

Этап 7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.3

Вынесем множитель $4$ из $4 + 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.3.2

Вынесем множитель $4$ из $4 \cdot 1 + 4 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1 + x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.4

Перепишем $4 (1 + x)$ в виде $2^{2} (1^{2} + x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.4.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.4.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} + x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1^{2} + x}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.6

Единица в любой степени равна единице.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2}$

Этап 7.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{1 + x}$

Этап 7.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = 1 - \sqrt{1 + x}$

Этап 8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = 1 + \sqrt{1 + x}$

$y = 1 - \sqrt{1 + x}$

Этап 9

Поменяем переменные местами. Составим уравнение для каждого выражения.

$x = 1 + \sqrt{1 + y}, x = 1 - \sqrt{1 + y}$

Этап 10

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Перепишем уравнение в виде $1 + \sqrt{1 + y} = x$ .

$1 + \sqrt{1 + y} = x$

Этап 10.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{1 + y} = x - 1$

Этап 10.3

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{1 + y}}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

Этап 10.4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 + y}$ в виде ${(1 + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(1 + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

Этап 10.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1

Упростим ${({(1 + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(1 + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 1)}^{2}$

Этап 10.4.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(1 + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 1)}^{2}$

Этап 10.4.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(1 + y)}^{1} = {(x - 1)}^{2}$

Этап 10.4.2.1.2

Упростим.

$1 + y = {(x - 1)}^{2}$

Этап 10.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.3.1

Упростим ${(x - 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.3.1.1

Перепишем ${(x - 1)}^{2}$ в виде $(x - 1) (x - 1)$ .

$1 + y = (x - 1) (x - 1)$

Этап 10.4.3.1.2

Развернем $(x - 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 + y = x (x - 1) - 1 (x - 1)$

Этап 10.4.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 + y = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)$

Этап 10.4.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$1 + y = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Этап 10.4.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.3.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$1 + y = x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Этап 10.4.3.1.3.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$1 + y = x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Этап 10.4.3.1.3.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$1 + y = x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Этап 10.4.3.1.3.1.4

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$1 + y = x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1$

Этап 10.4.3.1.3.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 + y = x^{2} - x - x + 1$

Этап 10.4.3.1.3.2

Вычтем $x$ из $- x$ .

$1 + y = x^{2} - 2 x + 1$

Этап 10.5

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$y = x^{2} - 2 x + 1 - 1$

Этап 10.5.2

Объединим противоположные члены в $x^{2} - 2 x + 1 - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$y = x^{2} - 2 x + 0$

Этап 10.5.2.2

Добавим $x^{2} - 2 x$ и $0$ .

$y = x^{2} - 2 x$

Этап 11

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$

Этап 12

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$ обратной к $f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}, 1 - \sqrt{1 + x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}, 1 - \sqrt{1 + x}$ и $f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$ и сравним их.

Этап 12.2

Найдем множество значений $f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}, 1 - \sqrt{1 + x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Найдем множество значений $1 + \sqrt{1 + x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[1, \infty)$

Этап 12.2.2

Найдем множество значений $1 - \sqrt{1 + x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.1

Интервальное представление:

$(- \infty, 1]$

Этап 12.2.3

Найдем объединение $[1, \infty), (- \infty, 1]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.1

Объединение состоит из всех элементов, содержащихся в любом интервале.

$(- \infty, \infty)$

Этап 12.3

Найдем область определения $1 + \sqrt{1 + x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{1 + x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$1 + x \geq 0$

Этап 12.3.2

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$x \geq - 1$

Этап 12.3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[- 1, \infty)$

Этап 12.4

Так как область определения $f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$ представляет множество значений, определяемых уравнением $f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}, 1 - \sqrt{1 + x}$ , а множество значений, определяемое уравнениями $f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$ , представляет область определения $f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}, 1 - \sqrt{1 + x}$ , то $f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$ — обратная к $f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}, 1 - \sqrt{1 + x}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$

Этап 13