Тригонометрия Примеры

$\frac{\tan (x) \cdot 5}{8}$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{\tan (y) \cdot 5}{8}$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{\tan (y) \cdot 5}{8} = x$ .

$\frac{\tan (y) \cdot 5}{8} = x$

Этап 2.2

Умножим обе части уравнения на $\frac{8}{5}$ .

$\frac{8}{5} \cdot \frac{\tan (y) \cdot 5}{8} = \frac{8}{5} x$

Этап 2.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Упростим $\frac{8}{5} \cdot \frac{\tan (y) \cdot 5}{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8}{5} \cdot \frac{\tan (y) \cdot 5}{8} = \frac{8}{5} x$

Этап 2.3.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{5} (\tan (y) \cdot 5) = \frac{8}{5} x$

Этап 2.3.1.1.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $5$ из $\tan (y) \cdot 5$ .

$\frac{1}{5} (5 \cdot \tan (y)) = \frac{8}{5} x$

Этап 2.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{5} (5 \cdot \tan (y)) = \frac{8}{5} x$

Этап 2.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\tan (y) = \frac{8}{5} x$

Этап 2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Объединим $\frac{8}{5}$ и $x$ .

$\tan (y) = \frac{8 x}{5}$

Этап 2.4

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из тангенса.

$y = \arctan (\frac{8 x}{5})$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \arctan (\frac{8 x}{5})$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \arctan (\frac{8 x}{5})$ обратной к $f (x) = \frac{\tan (x) \cdot 5}{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{\tan (x) \cdot 5}{8})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{\tan (x) \cdot 5}{8}) = \arctan (\frac{8 (\frac{\tan (x) \cdot 5}{8})}{5})$

Этап 4.2.3

Объединим $8$ и $\frac{\tan (x) \cdot 5}{8}$ .

$f^{- 1} (\frac{\tan (x) \cdot 5}{8}) = \arctan (\frac{\frac{8 (\tan (x) \cdot 5)}{8}}{5})$

Этап 4.2.4

Умножим $5$ на $8$ .

$f^{- 1} (\frac{\tan (x) \cdot 5}{8}) = \arctan (\frac{\frac{40 \tan (x)}{8}}{5})$

Этап 4.2.5

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Сократим выражение $\frac{40 \tan (x)}{8}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1.1

Вынесем множитель $8$ из $40 \tan (x)$ .

$f^{- 1} (\frac{\tan (x) \cdot 5}{8}) = \arctan (\frac{\frac{8 (5 \tan (x))}{8}}{5})$

Этап 4.2.5.1.2

Вынесем множитель $8$ из $8$ .

$f^{- 1} (\frac{\tan (x) \cdot 5}{8}) = \arctan (\frac{\frac{8 (5 \tan (x))}{8 (1)}}{5})$

Этап 4.2.5.1.3

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{\tan (x) \cdot 5}{8}) = \arctan (\frac{\frac{8 (5 \tan (x))}{8 \cdot 1}}{5})$

Этап 4.2.5.1.4

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{\tan (x) \cdot 5}{8}) = \arctan (\frac{\frac{5 \tan (x)}{1}}{5})$

Этап 4.2.5.2

Разделим $5 \tan (x)$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{\tan (x) \cdot 5}{8}) = \arctan (\frac{5 \tan (x)}{5})$

Этап 4.2.6

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{\tan (x) \cdot 5}{8}) = \arctan (\frac{5 \tan (x)}{5})$

Этап 4.2.6.2

Разделим $\tan (x)$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{\tan (x) \cdot 5}{8}) = \arctan (\tan (x))$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\arctan (\frac{8 x}{5}))$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\arctan (\frac{8 x}{5})) = \frac{\tan (\arctan (\frac{8 x}{5})) \cdot 5}{8}$

Этап 4.3.3

Тангенс и арктангенс — обратные функции.

$f (\arctan (\frac{8 x}{5})) = \frac{\frac{8 x}{5} \cdot 5}{8}$

Этап 4.3.4

Объединим $\frac{8 x}{5}$ и $5$ .

$f (\arctan (\frac{8 x}{5})) = \frac{\frac{8 x \cdot 5}{5}}{8}$

Этап 4.3.5

Умножим $5$ на $8$ .

$f (\arctan (\frac{8 x}{5})) = \frac{\frac{40 x}{5}}{8}$

Этап 4.3.6

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.1

Сократим выражение $\frac{40 x}{5}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.1.1

Вынесем множитель $5$ из $40 x$ .

$f (\arctan (\frac{8 x}{5})) = \frac{\frac{5 (8 x)}{5}}{8}$

Этап 4.3.6.1.2

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$f (\arctan (\frac{8 x}{5})) = \frac{\frac{5 (8 x)}{5 (1)}}{8}$

Этап 4.3.6.1.3

Сократим общий множитель.

$f (\arctan (\frac{8 x}{5})) = \frac{\frac{5 (8 x)}{5 \cdot 1}}{8}$

Этап 4.3.6.1.4

Перепишем это выражение.

$f (\arctan (\frac{8 x}{5})) = \frac{\frac{8 x}{1}}{8}$

Этап 4.3.6.2

Разделим $8 x$ на $1$ .

$f (\arctan (\frac{8 x}{5})) = \frac{8 x}{8}$

Этап 4.3.7

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.1

Сократим общий множитель.

$f (\arctan (\frac{8 x}{5})) = \frac{8 x}{8}$

Этап 4.3.7.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f (\arctan (\frac{8 x}{5})) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \arctan (\frac{8 x}{5})$ — обратная к $f (x) = \frac{\tan (x) \cdot 5}{8}$ .

$f^{- 1} (x) = \arctan (\frac{8 x}{5})$