Тригонометрия Примеры

$y = 2 \ln (x - 5)$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = 2 \ln (y - 5)$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $2 \ln (y - 5) = x$ .

$2 \ln (y - 5) = x$

Этап 2.2

Разделим каждый член $2 \ln (y - 5) = x$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим каждый член $2 \ln (y - 5) = x$ на $2$ .

$\frac{2 \ln (y - 5)}{2} = \frac{x}{2}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \ln (y - 5)}{2} = \frac{x}{2}$

Этап 2.2.2.1.2

Разделим $\ln (y - 5)$ на $1$ .

$\ln (y - 5) = \frac{x}{2}$

Этап 2.3

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (y - 5)} = e^{\frac{x}{2}}$

Этап 2.4

Перепишем $\ln (y - 5) = \frac{x}{2}$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{x}{2}} = y - 5$

Этап 2.5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем уравнение в виде $y - 5 = e^{\frac{x}{2}}$ .

$y - 5 = e^{\frac{x}{2}}$

Этап 2.5.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$y = e^{\frac{x}{2}} + 5$

Этап 3

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = e^{\frac{x}{2}} + 5$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = e^{\frac{x}{2}} + 5$ обратной к $f (x) = 2 \ln (x - 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (2 \ln (x - 5))$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 \ln (x - 5)) = e^{\frac{2 \ln (x - 5)}{2}} + 5$

Этап 4.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (2 \ln (x - 5)) = e^{\frac{2 \ln (x - 5)}{2}} + 5$

Этап 4.2.3.1.2

Разделим $\ln (x - 5)$ на $1$ .

$f^{- 1} (2 \ln (x - 5)) = e^{\ln (x - 5)} + 5$

Этап 4.2.3.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f^{- 1} (2 \ln (x - 5)) = x - 5 + 5$

Этап 4.2.4

Объединим противоположные члены в $x - 5 + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Добавим $- 5$ и $5$ .

$f^{- 1} (2 \ln (x - 5)) = x + 0$

Этап 4.2.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (2 \ln (x - 5)) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (e^{\frac{x}{2}} + 5)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (e^{\frac{x}{2}} + 5) = 2 \ln ((e^{\frac{x}{2}} + 5) - 5)$

Этап 4.3.3

Объединим противоположные члены в $(e^{\frac{x}{2}} + 5) - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Вычтем $5$ из $5$ .

$f (e^{\frac{x}{2}} + 5) = 2 \ln (e^{\frac{x}{2}} + 0)$

Этап 4.3.3.2

Добавим $e^{\frac{x}{2}}$ и $0$ .

$f (e^{\frac{x}{2}} + 5) = 2 \ln (e^{\frac{x}{2}})$

Этап 4.3.4

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $\frac{x}{2}$ из степени.

$f (e^{\frac{x}{2}} + 5) = 2 (\frac{x}{2} \cdot \ln (e))$

Этап 4.3.5

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$f (e^{\frac{x}{2}} + 5) = 2 (\frac{x}{2} \cdot 1)$

Этап 4.3.6

Умножим $\frac{x}{2}$ на $1$ .

$f (e^{\frac{x}{2}} + 5) = 2 (\frac{x}{2})$

Этап 4.3.7

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.1

Сократим общий множитель.

$f (e^{\frac{x}{2}} + 5) = 2 (\frac{x}{2})$

Этап 4.3.7.2

Перепишем это выражение.

$f (e^{\frac{x}{2}} + 5) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = e^{\frac{x}{2}} + 5$ — обратная к $f (x) = 2 \ln (x - 5)$ .

$f^{- 1} (x) = e^{\frac{x}{2}} + 5$