Тригонометрия Примеры

$y = 2 \arcsin (3 x + 7)$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = 2 \arcsin (3 y + 7)$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $2 \arcsin (3 y + 7) = x$ .

$2 \arcsin (3 y + 7) = x$

Этап 2.2

Разделим каждый член $2 \arcsin (3 y + 7) = x$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим каждый член $2 \arcsin (3 y + 7) = x$ на $2$ .

$\frac{2 \arcsin (3 y + 7)}{2} = \frac{x}{2}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \arcsin (3 y + 7)}{2} = \frac{x}{2}$

Этап 2.2.2.1.2

Разделим $\arcsin (3 y + 7)$ на $1$ .

$\arcsin (3 y + 7) = \frac{x}{2}$

Этап 2.3

Возьмем обратный арксинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из арксинуса.

$3 y + 7 = \sin (\frac{x}{2})$

Этап 2.4

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$3 y = \sin (\frac{x}{2}) - 7$

Этап 2.5

Разделим каждый член $3 y = \sin (\frac{x}{2}) - 7$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Разделим каждый член $3 y = \sin (\frac{x}{2}) - 7$ на $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{3} + \frac{- 7}{3}$

Этап 2.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{3} + \frac{- 7}{3}$

Этап 2.5.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{3} + \frac{- 7}{3}$

Этап 2.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{7}{3}$

Этап 3

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{7}{3}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{7}{3}$ обратной к $f (x) = 2 \arcsin (3 x + 7)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (2 \arcsin (3 x + 7))$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 \arcsin (3 x + 7)) = \frac{\sin (\frac{2 \arcsin (3 x + 7)}{2})}{3} - \frac{7}{3}$

Этап 4.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (2 \arcsin (3 x + 7)) = \frac{\sin (\frac{2 \arcsin (3 x + 7)}{2}) - 7}{3}$

Этап 4.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (2 \arcsin (3 x + 7)) = \frac{\sin (\frac{2 \arcsin (3 x + 7)}{2}) - 7}{3}$

Этап 4.2.4.1.2

Разделим $\arcsin (3 x + 7)$ на $1$ .

$f^{- 1} (2 \arcsin (3 x + 7)) = \frac{\sin (\arcsin (3 x + 7)) - 7}{3}$

Этап 4.2.4.2

Синус и арксинус — обратные функции.

$f^{- 1} (2 \arcsin (3 x + 7)) = \frac{3 x + 7 - 7}{3}$

Этап 4.2.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Объединим противоположные члены в $3 x + 7 - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1.1

Вычтем $7$ из $7$ .

$f^{- 1} (2 \arcsin (3 x + 7)) = \frac{3 x + 0}{3}$

Этап 4.2.5.1.2

Добавим $3 x$ и $0$ .

$f^{- 1} (2 \arcsin (3 x + 7)) = \frac{3 x}{3}$

Этап 4.2.5.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.2.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (2 \arcsin (3 x + 7)) = \frac{3 x}{3}$

Этап 4.2.5.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (2 \arcsin (3 x + 7)) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\frac{\sin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{7}{3})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{\sin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{7}{3}) = 2 \arcsin (3 (\frac{\sin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{7}{3}) + 7)$

Этап 4.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{\sin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{7}{3}) = 2 \arcsin (3 (\frac{\sin (\frac{x}{2})}{3}) + 3 (- \frac{7}{3}) + 7)$

Этап 4.3.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{7}{3}) = 2 \arcsin (3 (\frac{\sin (\frac{x}{2})}{3}) + 3 (- \frac{7}{3}) + 7)$

Этап 4.3.3.2.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{7}{3}) = 2 \arcsin (\sin (\frac{x}{2}) + 3 (- \frac{7}{3}) + 7)$

Этап 4.3.3.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{7}{3}$ в числитель.

$f (\frac{\sin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{7}{3}) = 2 \arcsin (\sin (\frac{x}{2}) + 3 (\frac{- 7}{3}) + 7)$

Этап 4.3.3.3.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{7}{3}) = 2 \arcsin (\sin (\frac{x}{2}) + 3 (\frac{- 7}{3}) + 7)$

Этап 4.3.3.3.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{7}{3}) = 2 \arcsin (\sin (\frac{x}{2}) - 7 + 7)$

Этап 4.3.4

Объединим противоположные члены в $\sin (\frac{x}{2}) - 7 + 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Добавим $- 7$ и $7$ .

$f (\frac{\sin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{7}{3}) = 2 \arcsin (\sin (\frac{x}{2}) + 0)$

Этап 4.3.4.2

Добавим $\sin (\frac{x}{2})$ и $0$ .

$f (\frac{\sin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{7}{3}) = 2 \arcsin (\sin (\frac{x}{2}))$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{7}{3}$ — обратная к $f (x) = 2 \arcsin (3 x + 7)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{7}{3}$