Тригонометрия Примеры

$y = 2 + \sqrt{6 x - 5}$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = 2 + \sqrt{6 y - 5}$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $2 + \sqrt{6 y - 5} = x$ .

$2 + \sqrt{6 y - 5} = x$

Этап 2.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{6 y - 5} = x - 2$

Этап 2.3

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{6 y - 5}}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Этап 2.4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6 y - 5}$ в виде ${(6 y - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(6 y - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Этап 2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Упростим ${({(6 y - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(6 y - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(6 y - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

Этап 2.4.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(6 y - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

Этап 2.4.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(6 y - 5)}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Этап 2.4.2.1.2

Упростим.

$6 y - 5 = {(x - 2)}^{2}$

Этап 2.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Упростим ${(x - 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1.1

Перепишем ${(x - 2)}^{2}$ в виде $(x - 2) (x - 2)$ .

$6 y - 5 = (x - 2) (x - 2)$

Этап 2.4.3.1.2

Развернем $(x - 2) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$6 y - 5 = x (x - 2) - 2 (x - 2)$

Этап 2.4.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$6 y - 5 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)$

Этап 2.4.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$6 y - 5 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Этап 2.4.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$6 y - 5 = x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Этап 2.4.3.1.3.1.2

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$6 y - 5 = x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2$

Этап 2.4.3.1.3.1.3

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$6 y - 5 = x^{2} - 2 x - 2 x + 4$

Этап 2.4.3.1.3.2

Вычтем $2 x$ из $- 2 x$ .

$6 y - 5 = x^{2} - 4 x + 4$

Этап 2.5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$6 y = x^{2} - 4 x + 4 + 5$

Этап 2.5.1.2

Добавим $4$ и $5$ .

$6 y = x^{2} - 4 x + 9$

Этап 2.5.2

Разделим каждый член $6 y = x^{2} - 4 x + 9$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Разделим каждый член $6 y = x^{2} - 4 x + 9$ на $6$ .

$\frac{6 y}{6} = \frac{x^{2}}{6} + \frac{- 4 x}{6} + \frac{9}{6}$

Этап 2.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 y}{6} = \frac{x^{2}}{6} + \frac{- 4 x}{6} + \frac{9}{6}$

Этап 2.5.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{6} + \frac{- 4 x}{6} + \frac{9}{6}$

Этап 2.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1.1

Сократим общий множитель $- 4$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4 x$ .

$y = \frac{x^{2}}{6} + \frac{2 (- 2 x)}{6} + \frac{9}{6}$

Этап 2.5.2.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$y = \frac{x^{2}}{6} + \frac{2 (- 2 x)}{2 (3)} + \frac{9}{6}$

Этап 2.5.2.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{x^{2}}{6} + \frac{2 (- 2 x)}{2 \cdot 3} + \frac{9}{6}$

Этап 2.5.2.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{x^{2}}{6} + \frac{- 2 x}{3} + \frac{9}{6}$

Этап 2.5.2.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{9}{6}$

Этап 2.5.2.3.1.3

Сократим общий множитель $9$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1.3.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$y = \frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3 (3)}{6}$

Этап 2.5.2.3.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$y = \frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2}$

Этап 2.5.2.3.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2}$

Этап 2.5.2.3.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}$

Этап 3

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}$ обратной к $f (x) = 2 + \sqrt{6 x - 5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{{(2 + \sqrt{6 x - 5})}^{2}}{6} - \frac{2 (2 + \sqrt{6 x - 5})}{3} + \frac{3}{2}$

Этап 4.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Перепишем ${(2 + \sqrt{6 x - 5})}^{2}$ в виде $(2 + \sqrt{6 x - 5}) (2 + \sqrt{6 x - 5})$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{(2 + \sqrt{6 x - 5}) (2 + \sqrt{6 x - 5})}{6} - \frac{2 (2 + \sqrt{6 x - 5})}{3} + \frac{3}{2}$

Этап 4.2.3.2

Развернем $(2 + \sqrt{6 x - 5}) (2 + \sqrt{6 x - 5})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{2 (2 + \sqrt{6 x - 5}) + \sqrt{6 x - 5} (2 + \sqrt{6 x - 5})}{6} - \frac{2 (2 + \sqrt{6 x - 5})}{3} + \frac{3}{2}$

Этап 4.2.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{6 x - 5} + \sqrt{6 x - 5} (2 + \sqrt{6 x - 5})}{6} - \frac{2 (2 + \sqrt{6 x - 5})}{3} + \frac{3}{2}$

Этап 4.2.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{6 x - 5} + \sqrt{6 x - 5} \cdot 2 + \sqrt{6 x - 5} \sqrt{6 x - 5}}{6} - \frac{2 (2 + \sqrt{6 x - 5})}{3} + \frac{3}{2}$

Этап 4.2.3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.3.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{4 + 2 \sqrt{6 x - 5} + \sqrt{6 x - 5} \cdot 2 + \sqrt{6 x - 5} \sqrt{6 x - 5}}{6} - \frac{2 (2 + \sqrt{6 x - 5})}{3} + \frac{3}{2}$

Этап 4.2.3.3.1.2

Перенесем $2$ влево от $\sqrt{6 x - 5}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{4 + 2 \sqrt{6 x - 5} + 2 \sqrt{6 x - 5} + \sqrt{6 x - 5} \sqrt{6 x - 5}}{6} - \frac{2 (2 + \sqrt{6 x - 5})}{3} + \frac{3}{2}$

Этап 4.2.3.3.1.3

Умножим $\sqrt{6 x - 5} \sqrt{6 x - 5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.3.1.3.1

Возведем $\sqrt{6 x - 5}$ в степень $1$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{4 + 2 \sqrt{6 x - 5} + 2 \sqrt{6 x - 5} + \sqrt{6 x - 5} \sqrt{6 x - 5}}{6} - \frac{2 (2 + \sqrt{6 x - 5})}{3} + \frac{3}{2}$

Этап 4.2.3.3.1.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{4 + 2 \sqrt{6 x - 5} + 2 \sqrt{6 x - 5} + {\sqrt{6 x - 5}}^{1 + 1}}{6} - \frac{2 (2 + \sqrt{6 x - 5})}{3} + \frac{3}{2}$

Этап 4.2.3.3.1.3.3

Добавим $1$ и $1$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{4 + 2 \sqrt{6 x - 5} + 2 \sqrt{6 x - 5} + {\sqrt{6 x - 5}}^{2}}{6} - \frac{2 (2 + \sqrt{6 x - 5})}{3} + \frac{3}{2}$

Этап 4.2.3.3.1.4

Перепишем ${\sqrt{6 x - 5}}^{2}$ в виде $6 x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.3.1.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6 x - 5}$ в виде ${(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{4 + 2 \sqrt{6 x - 5} + 2 \sqrt{6 x - 5} + {({(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6} - \frac{2 (2 + \sqrt{6 x - 5})}{3} + \frac{3}{2}$

Этап 4.2.3.3.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{4 + 2 \sqrt{6 x - 5} + 2 \sqrt{6 x - 5} + {(6 x - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6} - \frac{2 (2 + \sqrt{6 x - 5})}{3} + \frac{3}{2}$

Этап 4.2.3.3.1.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{4 + 2 \sqrt{6 x - 5} + 2 \sqrt{6 x - 5} + {(6 x - 5)}^{\frac{2}{2}}}{6} - \frac{2 (2 + \sqrt{6 x - 5})}{3} + \frac{3}{2}$

Этап 4.2.3.3.1.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.3.1.4.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{4 + 2 \sqrt{6 x - 5} + 2 \sqrt{6 x - 5} + {(6 x - 5)}^{\frac{2}{2}}}{6} - \frac{2 (2 + \sqrt{6 x - 5})}{3} + \frac{3}{2}$

Этап 4.2.3.3.1.4.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{4 + 2 \sqrt{6 x - 5} + 2 \sqrt{6 x - 5} + 6 x - 5}{6} - \frac{2 (2 + \sqrt{6 x - 5})}{3} + \frac{3}{2}$

Этап 4.2.3.3.1.4.5

Упростим.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{4 + 2 \sqrt{6 x - 5} + 2 \sqrt{6 x - 5} + 6 x - 5}{6} - \frac{2 (2 + \sqrt{6 x - 5})}{3} + \frac{3}{2}$

Этап 4.2.3.3.2

Вычтем $5$ из $4$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{- 1 + 2 \sqrt{6 x - 5} + 2 \sqrt{6 x - 5} + 6 x}{6} - \frac{2 (2 + \sqrt{6 x - 5})}{3} + \frac{3}{2}$

Этап 4.2.3.3.3

Добавим $2 \sqrt{6 x - 5}$ и $2 \sqrt{6 x - 5}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{- 1 + 4 \sqrt{6 x - 5} + 6 x}{6} - \frac{2 (2 + \sqrt{6 x - 5})}{3} + \frac{3}{2}$

Этап 4.2.4

Чтобы записать $- \frac{2 (2 + \sqrt{6 x - 5})}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{- 1 + 4 \sqrt{6 x - 5} + 6 x}{6} - \frac{2 (2 + \sqrt{6 x - 5})}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}$

Этап 4.2.5

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Умножим $\frac{2 (2 + \sqrt{6 x - 5})}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{- 1 + 4 \sqrt{6 x - 5} + 6 x}{6} - \frac{2 (2 + \sqrt{6 x - 5}) \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{3}{2}$

Этап 4.2.5.2

Умножим $3$ на $2$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{- 1 + 4 \sqrt{6 x - 5} + 6 x}{6} - \frac{2 (2 + \sqrt{6 x - 5}) \cdot 2}{6} + \frac{3}{2}$

Этап 4.2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{- 1 + 4 \sqrt{6 x - 5} + 6 x - 2 (2 + \sqrt{6 x - 5}) \cdot 2}{6} + \frac{3}{2}$

Этап 4.2.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6 x - 5}$ в виде ${(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{- 1 + 4 {(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}} + 6 x - 2 (2 + \sqrt{6 x - 5}) \cdot 2}{6} + \frac{3}{2}$

Этап 4.2.7.1.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6 x - 5}$ в виде ${(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{- 1 + 4 {(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}} + 6 x - 2 (2 + {(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2}{6} + \frac{3}{2}$

Этап 4.2.7.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{- 1 + 4 {(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}} + 6 x + (- 2 \cdot 2 - 2 {(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2}{6} + \frac{3}{2}$

Этап 4.2.7.1.4

Умножим $- 2$ на $2$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{- 1 + 4 {(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}} + 6 x + (- 4 - 2 {(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2}{6} + \frac{3}{2}$

Этап 4.2.7.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{- 1 + 4 {(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}} + 6 x - 4 \cdot 2 - 2 {(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{6} + \frac{3}{2}$

Этап 4.2.7.1.6

Умножим $- 4$ на $2$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{- 1 + 4 {(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}} + 6 x - 8 - 2 {(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{6} + \frac{3}{2}$

Этап 4.2.7.1.7

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{- 1 + 4 {(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}} + 6 x - 8 - 4 {(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{3}{2}$

Этап 4.2.7.1.8

Вычтем $8$ из $- 1$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{4 {(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}} + 6 x - 9 - 4 {(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{3}{2}$

Этап 4.2.7.1.9

Вычтем $4 {(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ из $4 {(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{6 x - 9 + 0}{6} + \frac{3}{2}$

Этап 4.2.7.1.10

Добавим $6 x - 9$ и $0$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{6 x - 9}{6} + \frac{3}{2}$

Этап 4.2.7.1.11

Вынесем множитель $3$ из $6 x - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.1.11.1

Вынесем множитель $3$ из $6 x$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{3 (2 x) - 9}{6} + \frac{3}{2}$

Этап 4.2.7.1.11.2

Вынесем множитель $3$ из $- 9$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{3 (2 x) + 3 (- 3)}{6} + \frac{3}{2}$

Этап 4.2.7.1.11.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (2 x) + 3 (- 3)$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{3 (2 x - 3)}{6} + \frac{3}{2}$

Этап 4.2.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{3 (2 x - 3)}{3 \cdot 2} + \frac{3}{2}$

Этап 4.2.7.2.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{3 (2 x - 3)}{3 \cdot 2} + \frac{3}{2}$

Этап 4.2.7.2.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{2 x - 3}{2} + \frac{3}{2}$

Этап 4.2.8

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{2 x - 3 + 3}{2}$

Этап 4.2.8.2

Объединим противоположные члены в $2 x - 3 + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.2.1

Добавим $- 3$ и $3$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{2 x + 0}{2}$

Этап 4.2.8.2.2

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{2 x}{2}$

Этап 4.2.8.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.3.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{2 x}{2}$

Этап 4.2.8.3.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}) = 2 + \sqrt{6 (\frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}) - 5}$

Этап 4.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}) = 2 + \sqrt{6 (\frac{x^{2}}{6}) + 6 (- \frac{2 x}{3}) + 6 (\frac{3}{2}) - 5}$

Этап 4.3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}) = 2 + \sqrt{6 (\frac{x^{2}}{6}) + 6 (- \frac{2 x}{3}) + 6 (\frac{3}{2}) - 5}$

Этап 4.3.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}) = 2 + \sqrt{x^{2} + 6 (- \frac{2 x}{3}) + 6 (\frac{3}{2}) - 5}$

Этап 4.3.3.2.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2 x}{3}$ в числитель.

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}) = 2 + \sqrt{x^{2} + 6 (\frac{- 2 x}{3}) + 6 (\frac{3}{2}) - 5}$

Этап 4.3.3.2.2.2

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}) = 2 + \sqrt{x^{2} + 3 (2) (\frac{- 2 x}{3}) + 6 (\frac{3}{2}) - 5}$

Этап 4.3.3.2.2.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}) = 2 + \sqrt{x^{2} + 3 \cdot (2 (\frac{- 2 x}{3})) + 6 (\frac{3}{2}) - 5}$

Этап 4.3.3.2.2.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}) = 2 + \sqrt{x^{2} + 2 (- 2 x) + 6 (\frac{3}{2}) - 5}$

Этап 4.3.3.2.3

Умножим $- 2$ на $2$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}) = 2 + \sqrt{x^{2} - 4 x + 6 (\frac{3}{2}) - 5}$

Этап 4.3.3.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.4.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}) = 2 + \sqrt{x^{2} - 4 x + 2 (3) (\frac{3}{2}) - 5}$

Этап 4.3.3.2.4.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}) = 2 + \sqrt{x^{2} - 4 x + 2 \cdot (3 (\frac{3}{2})) - 5}$

Этап 4.3.3.2.4.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}) = 2 + \sqrt{x^{2} - 4 x + 3 \cdot 3 - 5}$

Этап 4.3.3.2.5

Умножим $3$ на $3$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}) = 2 + \sqrt{x^{2} - 4 x + 9 - 5}$

Этап 4.3.3.3

Вычтем $5$ из $9$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}) = 2 + \sqrt{x^{2} - 4 x + 4}$

Этап 4.3.3.4

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.4.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}) = 2 + \sqrt{x^{2} - 4 x + 2^{2}}$

Этап 4.3.3.4.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Этап 4.3.3.4.3

Перепишем многочлен.

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}) = 2 + \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}}$

Этап 4.3.3.4.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}) = 2 + \sqrt{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 4.3.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}) = 2 + x - 2$

Этап 4.3.4

Объединим противоположные члены в $2 + x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Вычтем $2$ из $2$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}) = x + 0$

Этап 4.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}$ — обратная к $f (x) = 2 + \sqrt{6 x - 5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}$