Тригонометрия Примеры

$y = 1 - 2 \sin^{2} (6 x)$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = 1 - 2 \sin^{2} (6 y)$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $1 - 2 \sin^{2} (6 y) = x$ .

$1 - 2 \sin^{2} (6 y) = x$

Этап 2.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 2 \sin^{2} (6 y) = x - 1$

Этап 2.3

Разделим каждый член $- 2 \sin^{2} (6 y) = x - 1$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $- 2 \sin^{2} (6 y) = x - 1$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin^{2} (6 y)}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{- 1}{- 2}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 \sin^{2} (6 y)}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{- 1}{- 2}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $\sin^{2} (6 y)$ на $1$ .

$\sin^{2} (6 y) = \frac{x}{- 2} + \frac{- 1}{- 2}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\sin^{2} (6 y) = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{- 2}$

Этап 2.3.3.1.2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\sin^{2} (6 y) = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 2.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sin (6 y) = \pm \sqrt{- \frac{x}{2} + \frac{1}{2}}$

Этап 2.5

Упростим $\pm \sqrt{- \frac{x}{2} + \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sin (6 y) = \pm \sqrt{\frac{- x + 1}{2}}$

Этап 2.5.2

Перепишем $\sqrt{\frac{- x + 1}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{- x + 1}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (6 y) = \pm \frac{\sqrt{- x + 1}}{\sqrt{2}}$

Этап 2.5.3

Умножим $\frac{\sqrt{- x + 1}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (6 y) = \pm \frac{\sqrt{- x + 1}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 2.5.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Умножим $\frac{\sqrt{- x + 1}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (6 y) = \pm \frac{\sqrt{- x + 1} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 2.5.4.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\sin (6 y) = \pm \frac{\sqrt{- x + 1} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 2.5.4.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\sin (6 y) = \pm \frac{\sqrt{- x + 1} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 2.5.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin (6 y) = \pm \frac{\sqrt{- x + 1} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 2.5.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin (6 y) = \pm \frac{\sqrt{- x + 1} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 2.5.4.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (6 y) = \pm \frac{\sqrt{- x + 1} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.5.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (6 y) = \pm \frac{\sqrt{- x + 1} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.5.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sin (6 y) = \pm \frac{\sqrt{- x + 1} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.5.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\sin (6 y) = \pm \frac{\sqrt{- x + 1} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.5.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\sin (6 y) = \pm \frac{\sqrt{- x + 1} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 2.5.4.6.5

Найдем экспоненту.

$\sin (6 y) = \pm \frac{\sqrt{- x + 1} \sqrt{2}}{2}$

Этап 2.5.5

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\sin (6 y) = \pm \frac{\sqrt{(- x + 1) \cdot 2}}{2}$

Этап 2.5.6

Изменим порядок множителей в $\pm \frac{\sqrt{(- x + 1) \cdot 2}}{2}$ .

$\sin (6 y) = \pm \frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2}$

Этап 2.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\sin (6 y) = \frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2}$

Этап 2.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\sin (6 y) = - \frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2}$

Этап 2.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\sin (6 y) = \frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2}$

Этап 2.7

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $y$ .

$\sin (6 y) = \frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2}$

$\sin (6 y) = - \frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2}$

Этап 2.8

Решим относительно $y$ в $\sin (6 y) = \frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из синуса.

$6 y = \arcsin (\frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})$

Этап 2.8.2

Разделим каждый член $6 y = \arcsin (\frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Разделим каждый член $6 y = \arcsin (\frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})$ на $6$ .

$\frac{6 y}{6} = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})}{6}$

Этап 2.8.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 y}{6} = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})}{6}$

Этап 2.8.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})}{6}$

Этап 2.9

Решим относительно $y$ в $\sin (6 y) = - \frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из синуса.

$6 y = \arcsin (- \frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})$

Этап 2.9.2

Разделим каждый член $6 y = \arcsin (- \frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1

Разделим каждый член $6 y = \arcsin (- \frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})$ на $6$ .

$\frac{6 y}{6} = \frac{\arcsin (- \frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})}{6}$

Этап 2.9.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 y}{6} = \frac{\arcsin (- \frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})}{6}$

Этап 2.9.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\arcsin (- \frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})}{6}$

Этап 2.10

Перечислим все решения.

$y = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})}{6}$

$y = \frac{\arcsin (- \frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})}{6}$

$y = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})}{6}$

$y = \frac{\arcsin (- \frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})}{6}$

Этап 3

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})}{6}, \frac{\arcsin (- \frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})}{6}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})}{6}, \frac{\arcsin (- \frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})}{6}$ обратной к $f (x) = 1 - 2 \sin^{2} (6 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = 1 - 2 \sin^{2} (6 x)$ и $f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})}{6}, \frac{\arcsin (- \frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})}{6}$ и сравним их.

Этап 4.2

Найдем множество значений $f (x) = 1 - 2 \sin^{2} (6 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[1, 3]$

Этап 4.3

Найдем область определения $\frac{\arcsin (\frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{2 (- x + 1)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$2 (- x + 1) \geq 0$

Этап 4.3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Разделим каждый член $2 (- x + 1) \geq 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Разделим каждый член $2 (- x + 1) \geq 0$ на $2$ .

$\frac{2 (- x + 1)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Этап 4.3.2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- x + 1)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Этап 4.3.2.1.2.1.2

Разделим $- x + 1$ на $1$ .

$- x + 1 \geq \frac{0}{2}$

Этап 4.3.2.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$- x + 1 \geq 0$

Этап 4.3.2.2

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$- x \geq - 1$

Этап 4.3.2.3

Разделим каждый член $- x \geq - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.1

Разделим каждый член $- x \geq - 1$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Этап 4.3.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Этап 4.3.2.3.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{- 1}{- 1}$

Этап 4.3.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$x \leq 1$

Этап 4.3.3

Зададим аргумент в $\arcsin (\frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})$ большим или равным $- 1$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$\frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2} \geq - 1$

Этап 4.3.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Умножим обе части на $2$ .

$\frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2} \cdot 2 \geq - 1 \cdot 2$

Этап 4.3.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2} \cdot 2 \geq - 1 \cdot 2$

Этап 4.3.4.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{2 (- x + 1)} \geq - 1 \cdot 2$

Этап 4.3.4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.2.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\sqrt{2 (- x + 1)} \geq - 2$

Этап 4.3.4.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.3.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части неравенства, возведем обе части неравенства в квадрат.

${\sqrt{2 (- x + 1)}}^{2} \geq {(- 2)}^{2}$

Этап 4.3.4.3.2

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 (- x + 1)}$ в виде ${(2 (- x + 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 (- x + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 2)}^{2}$

Этап 4.3.4.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.3.2.2.1

Упростим ${({(2 (- x + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.3.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(2 (- x + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.3.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 (- x + 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 2)}^{2}$

Этап 4.3.4.3.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.3.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(2 (- x + 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 2)}^{2}$

Этап 4.3.4.3.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(2 (- x + 1))}^{1} \geq {(- 2)}^{2}$

Этап 4.3.4.3.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

${(2 (- x) + 2 \cdot 1)}^{1} \geq {(- 2)}^{2}$

Этап 4.3.4.3.2.2.1.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.3.2.2.1.3.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

${(- 2 x + 2 \cdot 1)}^{1} \geq {(- 2)}^{2}$

Этап 4.3.4.3.2.2.1.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.3.2.2.1.3.2.1

Умножим $2$ на $1$ .

${(- 2 x + 2)}^{1} \geq {(- 2)}^{2}$

Этап 4.3.4.3.2.2.1.3.2.2

Упростим.

$- 2 x + 2 \geq {(- 2)}^{2}$

Этап 4.3.4.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.3.2.3.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$- 2 x + 2 \geq 4$

Этап 4.3.4.3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.3.3.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.3.3.1.1

Вычтем $2$ из обеих частей неравенства.

$- 2 x \geq 4 - 2$

Этап 4.3.4.3.3.1.2

Вычтем $2$ из $4$ .

$- 2 x \geq 2$

Этап 4.3.4.3.3.2

Разделим каждый член $- 2 x \geq 2$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.3.3.2.1

Разделим каждый член $- 2 x \geq 2$ на $- 2$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- 2 x}{- 2} \leq \frac{2}{- 2}$

Этап 4.3.4.3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.3.3.2.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.3.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 x}{- 2} \leq \frac{2}{- 2}$

Этап 4.3.4.3.3.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{2}{- 2}$

Этап 4.3.4.3.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.3.3.2.3.1

Разделим $2$ на $- 2$ .

$x \leq - 1$

Этап 4.3.4.4

Найдем область определения $\frac{\sqrt{2 (- x + 1)} + 2}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.4.1

$2 (- x + 1) \geq 0$

Этап 4.3.4.4.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.4.2.1

Разделим каждый член $2 (- x + 1) \geq 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.4.2.1.1

Разделим каждый член $2 (- x + 1) \geq 0$ на $2$ .

$\frac{2 (- x + 1)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Этап 4.3.4.4.2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.4.2.1.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.4.2.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- x + 1)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Этап 4.3.4.4.2.1.2.1.2

Разделим $- x + 1$ на $1$ .

$- x + 1 \geq \frac{0}{2}$

Этап 4.3.4.4.2.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.4.2.1.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$- x + 1 \geq 0$

Этап 4.3.4.4.2.2

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$- x \geq - 1$

Этап 4.3.4.4.2.3

Разделим каждый член $- x \geq - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.4.2.3.1

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Этап 4.3.4.4.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.4.2.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Этап 4.3.4.4.2.3.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{- 1}{- 1}$

Этап 4.3.4.4.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.4.2.3.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$x \leq 1$

Этап 4.3.4.4.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 1]$

Этап 4.3.4.5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

Этап 4.3.4.6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.6.1

Проверим значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.6.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 4.3.4.6.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$\frac{\sqrt{2 (- (- 4) + 1)}}{2} \geq - 1$

Этап 4.3.4.6.1.3

Левая часть $1.58113883$ больше правой части $- 1$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 4.3.4.6.2

Проверим значение на интервале $- 1 < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.6.2.1

Выберем значение на интервале $- 1 < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 4.3.4.6.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{\sqrt{2 (- (0) + 1)}}{2} \geq - 1$

Этап 4.3.4.6.2.3

Левая часть $0.70710678$ больше правой части $- 1$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 4.3.4.6.3

Проверим значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.6.3.1

Выберем значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 4.3.4.6.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\frac{\sqrt{2 (- (4) + 1)}}{2} \geq - 1$

Этап 4.3.4.6.3.3

Левая часть не равна правой части. Это означает, что данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 4.3.4.6.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 1$ Истина

$- 1 < x < 1$ Истина

$x > 1$ Ложь

$x < - 1$ Истина

$- 1 < x < 1$ Истина

$x > 1$ Ложь

Этап 4.3.4.7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq - 1$ или $- 1 \leq x \leq 1$

Этап 4.3.4.8

Объединим интервалы.

$x \leq 1$

Этап 4.3.5

Зададим аргумент в $\arcsin (\frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})$ меньшим или равным $1$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$\frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2} \leq 1$

Этап 4.3.6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.1

Умножим обе части на $2$ .

$\frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2} \cdot 2 \leq 1 \cdot 2$

Этап 4.3.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2} \cdot 2 \leq 1 \cdot 2$

Этап 4.3.6.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{2 (- x + 1)} \leq 1 \cdot 2$

Этап 4.3.6.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.2.2.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\sqrt{2 (- x + 1)} \leq 2$

Этап 4.3.6.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.3.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части неравенства, возведем обе части неравенства в квадрат.

${\sqrt{2 (- x + 1)}}^{2} \leq 2^{2}$

Этап 4.3.6.3.2

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 (- x + 1)}$ в виде ${(2 (- x + 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 (- x + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 2^{2}$

Этап 4.3.6.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.3.2.2.1

Упростим ${({(2 (- x + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.3.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(2 (- x + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.3.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 (- x + 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 2^{2}$

Этап 4.3.6.3.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.3.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(2 (- x + 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 2^{2}$

Этап 4.3.6.3.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(2 (- x + 1))}^{1} \leq 2^{2}$

Этап 4.3.6.3.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

${(2 (- x) + 2 \cdot 1)}^{1} \leq 2^{2}$

Этап 4.3.6.3.2.2.1.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.3.2.2.1.3.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

${(- 2 x + 2 \cdot 1)}^{1} \leq 2^{2}$

Этап 4.3.6.3.2.2.1.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.3.2.2.1.3.2.1

Умножим $2$ на $1$ .

${(- 2 x + 2)}^{1} \leq 2^{2}$

Этап 4.3.6.3.2.2.1.3.2.2

Упростим.

$- 2 x + 2 \leq 2^{2}$

Этап 4.3.6.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.3.2.3.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- 2 x + 2 \leq 4$

Этап 4.3.6.3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.3.3.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.3.3.1.1

Вычтем $2$ из обеих частей неравенства.

$- 2 x \leq 4 - 2$

Этап 4.3.6.3.3.1.2

Вычтем $2$ из $4$ .

$- 2 x \leq 2$

Этап 4.3.6.3.3.2

Разделим каждый член $- 2 x \leq 2$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.3.3.2.1

Разделим каждый член $- 2 x \leq 2$ на $- 2$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- 2 x}{- 2} \geq \frac{2}{- 2}$

Этап 4.3.6.3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.3.3.2.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.3.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 x}{- 2} \geq \frac{2}{- 2}$

Этап 4.3.6.3.3.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{2}{- 2}$

Этап 4.3.6.3.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.3.3.2.3.1

Разделим $2$ на $- 2$ .

$x \geq - 1$

Этап 4.3.6.4

Найдем область определения $\frac{\sqrt{2 (- x + 1)} - 2}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.4.1

$2 (- x + 1) \geq 0$

Этап 4.3.6.4.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.4.2.1

Разделим каждый член $2 (- x + 1) \geq 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.4.2.1.1

Разделим каждый член $2 (- x + 1) \geq 0$ на $2$ .

$\frac{2 (- x + 1)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Этап 4.3.6.4.2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.4.2.1.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.4.2.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- x + 1)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Этап 4.3.6.4.2.1.2.1.2

Разделим $- x + 1$ на $1$ .

$- x + 1 \geq \frac{0}{2}$

Этап 4.3.6.4.2.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.4.2.1.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$- x + 1 \geq 0$

Этап 4.3.6.4.2.2

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$- x \geq - 1$

Этап 4.3.6.4.2.3

Разделим каждый член $- x \geq - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.4.2.3.1

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Этап 4.3.6.4.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.4.2.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Этап 4.3.6.4.2.3.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{- 1}{- 1}$

Этап 4.3.6.4.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.4.2.3.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$x \leq 1$

Этап 4.3.6.4.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 1]$

Этап 4.3.6.5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

Этап 4.3.6.6

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.6.1

Проверим значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.6.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 4.3.6.6.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$\frac{\sqrt{2 (- (- 4) + 1)}}{2} \leq 1$

Этап 4.3.6.6.1.3

Левая часть $1.58113883$ больше правой части $1$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 4.3.6.6.2

Проверим значение на интервале $- 1 < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.6.2.1

Выберем значение на интервале $- 1 < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 4.3.6.6.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{\sqrt{2 (- (0) + 1)}}{2} \leq 1$

Этап 4.3.6.6.2.3

Левая часть $0.70710678$ меньше правой части $1$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 4.3.6.6.3

Проверим значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.6.3.1

Выберем значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 4.3.6.6.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\frac{\sqrt{2 (- (4) + 1)}}{2} \leq 1$

Этап 4.3.6.6.3.3

Левая часть не равна правой части. Это означает, что данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 4.3.6.6.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 1$ Ложь

$- 1 < x < 1$ Истина

$x > 1$ Ложь

$x < - 1$ Ложь

$- 1 < x < 1$ Истина

$x > 1$ Ложь

Этап 4.3.6.7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 1 \leq x \leq 1$

Этап 4.3.7

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[- 1, 1]$

Этап 4.4

Так как область определения $f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})}{6}, \frac{\arcsin (- \frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})}{6}$ не совпадает со множеством значений $f (x) = 1 - 2 \sin^{2} (6 x)$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})}{6}, \frac{\arcsin (- \frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})}{6}$ не является функцией, обратной к $f (x) = 1 - 2 \sin^{2} (6 x)$ .

Обратная не существует

Этап 5