Тригонометрия Примеры

$y = - 3 \sin (\frac{1}{2} x)$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = - 3 \sin (\frac{1}{2} y)$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $- 3 \sin (\frac{1}{2} y) = x$ .

$- 3 \sin (\frac{1}{2} y) = x$

Этап 2.2

Разделим каждый член $- 3 \sin (\frac{1}{2} y) = x$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим каждый член $- 3 \sin (\frac{1}{2} y) = x$ на $- 3$ .

$\frac{- 3 \sin (\frac{1}{2} y)}{- 3} = \frac{x}{- 3}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 \sin (\frac{1}{2} y)}{- 3} = \frac{x}{- 3}$

Этап 2.2.2.1.2

Разделим $\sin (\frac{1}{2} y)$ на $1$ .

$\sin (\frac{1}{2} y) = \frac{x}{- 3}$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\sin (\frac{1}{2} y) = - \frac{x}{3}$

Этап 2.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из синуса.

$\frac{1}{2} y = \arcsin (- \frac{x}{3})$

Этап 2.4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y$ .

$\frac{y}{2} = \arcsin (- \frac{x}{3})$

Этап 2.5

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{y}{2} = 2 \arcsin (- \frac{x}{3})$

Этап 2.6

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{y}{2} = 2 \arcsin (- \frac{x}{3})$

Этап 2.6.1.2

Перепишем это выражение.

$y = 2 \arcsin (- \frac{x}{3})$

Этап 3

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = 2 \arcsin (- \frac{x}{3})$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = 2 \arcsin (- \frac{x}{3})$ обратной к $f (x) = - 3 \sin (\frac{1}{2} x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (- 3 \sin (\frac{1}{2} x))$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- 3 \sin (\frac{1}{2} x)) = 2 \arcsin (- \frac{- 3 \sin (\frac{1}{2} x)}{3})$

Этап 4.2.3

Сократим общий множитель $- 3$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 \sin (\frac{1}{2} x)$ .

$f^{- 1} (- 3 \sin (\frac{1}{2} x)) = 2 \arcsin (- \frac{3 (- \sin (\frac{1}{2} x))}{3})$

Этап 4.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$f^{- 1} (- 3 \sin (\frac{1}{2} x)) = 2 \arcsin (- \frac{3 (- \sin (\frac{1}{2} x))}{3 (1)})$

Этап 4.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (- 3 \sin (\frac{1}{2} x)) = 2 \arcsin (- \frac{3 (- \sin (\frac{1}{2} x))}{3 \cdot 1})$

Этап 4.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (- 3 \sin (\frac{1}{2} x)) = 2 \arcsin (- \frac{- \sin (\frac{1}{2} x)}{1})$

Этап 4.2.3.2.4

Разделим $- \sin (\frac{1}{2} x)$ на $1$ .

$f^{- 1} (- 3 \sin (\frac{1}{2} x)) = 2 \arcsin (\sin (\frac{1}{2} x))$

Этап 4.2.4

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x$ .

$f^{- 1} (- 3 \sin (\frac{1}{2} x)) = 2 \arcsin (\sin (\frac{x}{2}))$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (2 \arcsin (- \frac{x}{3}))$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (2 \arcsin (- \frac{x}{3})) = - 3 \sin (\frac{1}{2} \cdot (2 \arcsin (- \frac{x}{3})))$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \arcsin (- \frac{x}{3})$ .

$f (2 \arcsin (- \frac{x}{3})) = - 3 \sin (\frac{1}{2} \cdot (2 (\arcsin (- \frac{x}{3}))))$

Этап 4.3.3.2

Сократим общий множитель.

$f (2 \arcsin (- \frac{x}{3})) = - 3 \sin (\frac{1}{2} \cdot (2 \arcsin (- \frac{x}{3})))$

Этап 4.3.3.3

Перепишем это выражение.

$f (2 \arcsin (- \frac{x}{3})) = - 3 \sin (\arcsin (- \frac{x}{3}))$

Этап 4.3.4

Синус и арксинус — обратные функции.

$f (2 \arcsin (- \frac{x}{3})) = - 3 (- \frac{x}{3})$

Этап 4.3.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x}{3}$ в числитель.

$f (2 \arcsin (- \frac{x}{3})) = - 3 \frac{- x}{3}$

Этап 4.3.5.2

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$f (2 \arcsin (- \frac{x}{3})) = 3 (- 1) (\frac{- x}{3})$

Этап 4.3.5.3

Сократим общий множитель.

$f (2 \arcsin (- \frac{x}{3})) = 3 \cdot (- 1 \frac{- x}{3})$

Этап 4.3.5.4

Перепишем это выражение.

$f (2 \arcsin (- \frac{x}{3})) = - 1 (- x)$

Этап 4.3.6

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (2 \arcsin (- \frac{x}{3})) = 1 x$

Этап 4.3.6.2

Умножим $x$ на $1$ .

$f (2 \arcsin (- \frac{x}{3})) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = 2 \arcsin (- \frac{x}{3})$ — обратная к $f (x) = - 3 \sin (\frac{1}{2} x)$ .

$f^{- 1} (x) = 2 \arcsin (- \frac{x}{3})$