Тригонометрия Примеры

$y = 3 + \sqrt{x - 4}$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = 3 + \sqrt{y - 4}$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $3 + \sqrt{y - 4} = x$ .

$3 + \sqrt{y - 4} = x$

Этап 2.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{y - 4} = x - 3$

Этап 2.3

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{y - 4}}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

Этап 2.4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y - 4}$ в виде ${(y - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

Этап 2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Упростим ${({(y - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(y - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 3)}^{2}$

Этап 2.4.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(y - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 3)}^{2}$

Этап 2.4.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(y - 4)}^{1} = {(x - 3)}^{2}$

Этап 2.4.2.1.2

Упростим.

$y - 4 = {(x - 3)}^{2}$

Этап 2.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Упростим ${(x - 3)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1.1

Перепишем ${(x - 3)}^{2}$ в виде $(x - 3) (x - 3)$ .

$y - 4 = (x - 3) (x - 3)$

Этап 2.4.3.1.2

Развернем $(x - 3) (x - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 4 = x (x - 3) - 3 (x - 3)$

Этап 2.4.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 4 = x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)$

Этап 2.4.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 4 = x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3$

Этап 2.4.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$y - 4 = x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3$

Этап 2.4.3.1.3.1.2

Перенесем $- 3$ влево от $x$ .

$y - 4 = x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3$

Этап 2.4.3.1.3.1.3

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$y - 4 = x^{2} - 3 x - 3 x + 9$

Этап 2.4.3.1.3.2

Вычтем $3 x$ из $- 3 x$ .

$y - 4 = x^{2} - 6 x + 9$

Этап 2.5

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$y = x^{2} - 6 x + 9 + 4$

Этап 2.5.2

Добавим $9$ и $4$ .

$y = x^{2} - 6 x + 13$

Этап 3

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 6 x + 13$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = x^{2} - 6 x + 13$ обратной к $f (x) = 3 + \sqrt{x - 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4}) = {(3 + \sqrt{x - 4})}^{2} - 6 (3 + \sqrt{x - 4}) + 13$

Этап 4.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Перепишем ${(3 + \sqrt{x - 4})}^{2}$ в виде $(3 + \sqrt{x - 4}) (3 + \sqrt{x - 4})$ .

$f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4}) = (3 + \sqrt{x - 4}) (3 + \sqrt{x - 4}) - 6 (3 + \sqrt{x - 4}) + 13$

Этап 4.2.3.2

Развернем $(3 + \sqrt{x - 4}) (3 + \sqrt{x - 4})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4}) = 3 (3 + \sqrt{x - 4}) + \sqrt{x - 4} (3 + \sqrt{x - 4}) - 6 (3 + \sqrt{x - 4}) + 13$

Этап 4.2.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4}) = 3 \cdot 3 + 3 \sqrt{x - 4} + \sqrt{x - 4} (3 + \sqrt{x - 4}) - 6 (3 + \sqrt{x - 4}) + 13$

Этап 4.2.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4}) = 3 \cdot 3 + 3 \sqrt{x - 4} + \sqrt{x - 4} \cdot 3 + \sqrt{x - 4} \sqrt{x - 4} - 6 (3 + \sqrt{x - 4}) + 13$

Этап 4.2.3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.3.1.1

Умножим $3$ на $3$ .

$f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4}) = 9 + 3 \sqrt{x - 4} + \sqrt{x - 4} \cdot 3 + \sqrt{x - 4} \sqrt{x - 4} - 6 (3 + \sqrt{x - 4}) + 13$

Этап 4.2.3.3.1.2

Перенесем $3$ влево от $\sqrt{x - 4}$ .

$f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4}) = 9 + 3 \sqrt{x - 4} + 3 \sqrt{x - 4} + \sqrt{x - 4} \sqrt{x - 4} - 6 (3 + \sqrt{x - 4}) + 13$

Этап 4.2.3.3.1.3

Умножим $\sqrt{x - 4} \sqrt{x - 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.3.1.3.1

Возведем $\sqrt{x - 4}$ в степень $1$ .

$f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4}) = 9 + 3 \sqrt{x - 4} + 3 \sqrt{x - 4} + \sqrt{x - 4} \sqrt{x - 4} - 6 (3 + \sqrt{x - 4}) + 13$

Этап 4.2.3.3.1.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4}) = 9 + 3 \sqrt{x - 4} + 3 \sqrt{x - 4} + {\sqrt{x - 4}}^{1 + 1} - 6 (3 + \sqrt{x - 4}) + 13$

Этап 4.2.3.3.1.3.3

Добавим $1$ и $1$ .

$f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4}) = 9 + 3 \sqrt{x - 4} + 3 \sqrt{x - 4} + {\sqrt{x - 4}}^{2} - 6 (3 + \sqrt{x - 4}) + 13$

Этап 4.2.3.3.1.4

Перепишем ${\sqrt{x - 4}}^{2}$ в виде $x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.3.1.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x - 4}$ в виде ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4}) = 9 + 3 \sqrt{x - 4} + 3 \sqrt{x - 4} + {({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 6 (3 + \sqrt{x - 4}) + 13$

Этап 4.2.3.3.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4}) = 9 + 3 \sqrt{x - 4} + 3 \sqrt{x - 4} + {(x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 6 (3 + \sqrt{x - 4}) + 13$

Этап 4.2.3.3.1.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4}) = 9 + 3 \sqrt{x - 4} + 3 \sqrt{x - 4} + {(x - 4)}^{\frac{2}{2}} - 6 (3 + \sqrt{x - 4}) + 13$

Этап 4.2.3.3.1.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.3.1.4.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4}) = 9 + 3 \sqrt{x - 4} + 3 \sqrt{x - 4} + {(x - 4)}^{\frac{2}{2}} - 6 (3 + \sqrt{x - 4}) + 13$

Этап 4.2.3.3.1.4.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4}) = 9 + 3 \sqrt{x - 4} + 3 \sqrt{x - 4} + x - 4 - 6 (3 + \sqrt{x - 4}) + 13$

Этап 4.2.3.3.1.4.5

Упростим.

$f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4}) = 9 + 3 \sqrt{x - 4} + 3 \sqrt{x - 4} + x - 4 - 6 (3 + \sqrt{x - 4}) + 13$

Этап 4.2.3.3.2

Вычтем $4$ из $9$ .

$f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4}) = 5 + 3 \sqrt{x - 4} + 3 \sqrt{x - 4} + x - 6 (3 + \sqrt{x - 4}) + 13$

Этап 4.2.3.3.3

Добавим $3 \sqrt{x - 4}$ и $3 \sqrt{x - 4}$ .

$f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4}) = 5 + 6 \sqrt{x - 4} + x - 6 (3 + \sqrt{x - 4}) + 13$

Этап 4.2.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4}) = 5 + 6 \sqrt{x - 4} + x - 6 \cdot 3 - 6 \sqrt{x - 4} + 13$

Этап 4.2.3.5

Умножим $- 6$ на $3$ .

$f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4}) = 5 + 6 \sqrt{x - 4} + x - 18 - 6 \sqrt{x - 4} + 13$

Этап 4.2.4

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Объединим противоположные члены в $5 + 6 \sqrt{x - 4} + x - 18 - 6 \sqrt{x - 4} + 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1.1

Вычтем $6 \sqrt{x - 4}$ из $6 \sqrt{x - 4}$ .

$f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4}) = 5 + x - 18 + 0 + 13$

Этап 4.2.4.1.2

Добавим $5 + x - 18$ и $0$ .

$f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4}) = 5 + x - 18 + 13$

Этап 4.2.4.2

Вычтем $18$ из $5$ .

$f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4}) = x - 13 + 13$

Этап 4.2.4.3

Объединим противоположные члены в $x - 13 + 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.3.1

Добавим $- 13$ и $13$ .

$f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4}) = x + 0$

Этап 4.2.4.3.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (3 + \sqrt{x - 4}) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (x^{2} - 6 x + 13)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (x^{2} - 6 x + 13) = 3 + \sqrt{(x^{2} - 6 x + 13) - 4}$

Этап 4.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Вычтем $4$ из $13$ .

$f (x^{2} - 6 x + 13) = 3 + \sqrt{x^{2} - 6 x + 9}$

Этап 4.3.3.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$f (x^{2} - 6 x + 13) = 3 + \sqrt{x^{2} - 6 x + 3^{2}}$

Этап 4.3.3.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Этап 4.3.3.2.3

Перепишем многочлен.

$f (x^{2} - 6 x + 13) = 3 + \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}}$

Этап 4.3.3.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$f (x^{2} - 6 x + 13) = 3 + \sqrt{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 4.3.3.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (x^{2} - 6 x + 13) = 3 + x - 3$

Этап 4.3.4

Объединим противоположные члены в $3 + x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Вычтем $3$ из $3$ .

$f (x^{2} - 6 x + 13) = x + 0$

Этап 4.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (x^{2} - 6 x + 13) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = x^{2} - 6 x + 13$ — обратная к $f (x) = 3 + \sqrt{x - 4}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 6 x + 13$