Тригонометрия Примеры

$y = - 3 x^{3}$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = - 3 y^{3}$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $- 3 y^{3} = x$ .

$- 3 y^{3} = x$

Этап 2.2

Разделим каждый член $- 3 y^{3} = x$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим каждый член $- 3 y^{3} = x$ на $- 3$ .

$\frac{- 3 y^{3}}{- 3} = \frac{x}{- 3}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 y^{3}}{- 3} = \frac{x}{- 3}$

Этап 2.2.2.1.2

Разделим $y^{3}$ на $1$ .

$y^{3} = \frac{x}{- 3}$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{3} = - \frac{x}{3}$

Этап 2.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \sqrt[3]{- \frac{x}{3}}$

Этап 2.4

Упростим $\sqrt[3]{- \frac{x}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перепишем $- \frac{x}{3}$ в виде ${({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{x}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \frac{x}{3}}$

Этап 2.4.1.2

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{x}{3}}$

Этап 2.4.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = {(- 1)}^{3} \sqrt[3]{\frac{x}{3}}$

Этап 2.4.3

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$y = - \sqrt[3]{\frac{x}{3}}$

Этап 2.4.4

Перепишем $\sqrt[3]{\frac{x}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{3}}$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{3}}$

Этап 2.4.5

Умножим $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{3}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$ .

$y = - (\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{3}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}})$

Этап 2.4.6

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.1

Умножим $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{3}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{3}}^{2}}$

Этап 2.4.6.2

Возведем $\sqrt[3]{3}$ в степень $1$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{1} {\sqrt[3]{3}}^{2}}$

Этап 2.4.6.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{1 + 2}}$

Этап 2.4.6.4

Добавим $1$ и $2$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{3}}$

Этап 2.4.6.5

Перепишем ${\sqrt[3]{3}}^{3}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{3}$ в виде $3^{\frac{1}{3}}$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{(3^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Этап 2.4.6.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Этап 2.4.6.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{3}{3}}}$

Этап 2.4.6.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.5.4.1

Сократим общий множитель.

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{3}{3}}}$

Этап 2.4.6.5.4.2

Перепишем это выражение.

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{1}}$

Этап 2.4.6.5.5

Найдем экспоненту.

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3}$

Этап 2.4.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.7.1

Перепишем ${\sqrt[3]{3}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{3^{2}}$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{3^{2}}}{3}$

Этап 2.4.7.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{9}}{3}$

Этап 2.4.8

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.8.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = - \frac{\sqrt[3]{x \cdot 9}}{3}$

Этап 2.4.8.2

Изменим порядок множителей в $- \frac{\sqrt[3]{x \cdot 9}}{3}$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}$

Этап 3

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}$ обратной к $f (x) = - 3 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (- 3 x^{3})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- 3 x^{3}) = - \frac{\sqrt[3]{9 (- 3 x^{3})}}{3}$

Этап 4.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Умножим $- 3$ на $9$ .

$f^{- 1} (- 3 x^{3}) = - \frac{\sqrt[3]{- 27 x^{3}}}{3}$

Этап 4.2.3.2

Перепишем $- 27 x^{3}$ в виде ${(- 3 x)}^{3}$ .

$f^{- 1} (- 3 x^{3}) = - \frac{\sqrt[3]{{(- 3 x)}^{3}}}{3}$

Этап 4.2.3.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f^{- 1} (- 3 x^{3}) = - \frac{- 3 x}{3}$

Этап 4.2.4

Сократим общий множитель $- 3$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x$ .

$f^{- 1} (- 3 x^{3}) = - \frac{3 (- x)}{3}$

Этап 4.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$f^{- 1} (- 3 x^{3}) = - \frac{3 (- x)}{3 (1)}$

Этап 4.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (- 3 x^{3}) = - \frac{3 (- x)}{3 \cdot 1}$

Этап 4.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (- 3 x^{3}) = - \frac{- x}{1}$

Этап 4.2.4.2.4

Разделим $- x$ на $1$ .

$f^{- 1} (- 3 x^{3}) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = - 3 {(- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3})}^{3}$

Этап 4.3.3

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Применим правило умножения к $- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = - 3 ({(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt[3]{9 x}}{3})}^{3})$

Этап 4.3.3.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = - 3 ({(- 1)}^{3} (\frac{{\sqrt[3]{9 x}}^{3}}{3^{3}}))$

Этап 4.3.4

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = - 3 (- \frac{{\sqrt[3]{9 x}}^{3}}{3^{3}})$

Этап 4.3.5

Перепишем ${\sqrt[3]{9 x}}^{3}$ в виде $9 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{9 x}$ в виде ${(9 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = - 3 (- \frac{{({(9 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{3^{3}})$

Этап 4.3.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = - 3 (- \frac{{(9 x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{3^{3}})$

Этап 4.3.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = - 3 (- \frac{{(9 x)}^{\frac{3}{3}}}{3^{3}})$

Этап 4.3.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.4.1

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = - 3 (- \frac{{(9 x)}^{\frac{3}{3}}}{3^{3}})$

Этап 4.3.5.4.2

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = - 3 (- \frac{9 x}{3^{3}})$

Этап 4.3.5.5

Упростим.

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = - 3 (- \frac{9 x}{3^{3}})$

Этап 4.3.6

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = - 3 (- \frac{9 x}{27})$

Этап 4.3.7

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{9 x}{27}$ в числитель.

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = - 3 \frac{- 9 x}{27}$

Этап 4.3.7.2

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = 3 (- 1) (\frac{- 9 x}{27})$

Этап 4.3.7.3

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = 3 \cdot (- 1 \frac{- 9 x}{3 \cdot 9})$

Этап 4.3.7.4

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = 3 \cdot (- 1 \frac{- 9 x}{3 \cdot 9})$

Этап 4.3.7.5

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = - 1 \frac{- 9 x}{9}$

Этап 4.3.8

Сократим общий множитель $- 9$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.8.1

Вынесем множитель $9$ из $- 9 x$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = - 1 \frac{9 (- x)}{9}$

Этап 4.3.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.8.2.1

Вынесем множитель $9$ из $9$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = - 1 \frac{9 (- x)}{9 (1)}$

Этап 4.3.8.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = - 1 \frac{9 (- x)}{9 \cdot 1}$

Этап 4.3.8.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = - 1 \frac{- x}{1}$

Этап 4.3.8.2.4

Разделим $- x$ на $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = - 1 (- x)$

Этап 4.3.9

Умножим $- 1 (- x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.9.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = 1 x$

Этап 4.3.9.2

Умножим $x$ на $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}$ — обратная к $f (x) = - 3 x^{3}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}$