Тригонометрия Примеры

$y = - 3 x^{2} + 12 x - 8$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = - 3 y^{2} + 12 y - 8$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $- 3 y^{2} + 12 y - 8 = x$ .

$- 3 y^{2} + 12 y - 8 = x$

Этап 2.2

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$- 3 y^{2} + 12 y - 8 - x = 0$

Этап 2.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.4

Подставим значения $a = - 3$ , $b = 12$ и $c = - 8 - x$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (- 3 \cdot (- 8 - x))}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Возведем $12$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 8 - x)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.5.1.2

Умножим $- 4$ на $- 3$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 12 \cdot (- 8 - x)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 12 \cdot - 8 + 12 (- x)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.5.1.4

Умножим $12$ на $- 8$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 96 + 12 (- x)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.5.1.5

Умножим $- 1$ на $12$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 96 - 12 x}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.5.1.6

Вычтем $96$ из $144$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{48 - 12 x}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.5.1.7

Вынесем множитель $12$ из $48 - 12 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.7.1

Вынесем множитель $12$ из $48$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{12 (4) - 12 x}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.5.1.7.2

Вынесем множитель $12$ из $- 12 x$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{12 (4) + 12 (- x)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.5.1.7.3

Вынесем множитель $12$ из $12 (4) + 12 (- x)$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{12 (4 - x)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.5.1.8

Перепишем $12 (4 - x)$ в виде $2^{2} \cdot (3 (2^{2} - x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.8.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (3) (4 - x)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.5.1.8.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (4 - x))}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.5.1.8.3

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (2^{2} - x))}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.5.1.8.4

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (2^{2} - x))}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.5.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{3 (2^{2} - x)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.5.1.10

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{3 (4 - x)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.5.2

Умножим $2$ на $- 3$ .

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{3 (4 - x)}}{- 6}$

Этап 2.5.3

Упростим $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{3 (4 - x)}}{- 6}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{3 (4 - x)}}{3}$

Этап 2.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Возведем $12$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 8 - x)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.6.1.2

Умножим $- 4$ на $- 3$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 12 \cdot (- 8 - x)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 12 \cdot - 8 + 12 (- x)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.6.1.4

Умножим $12$ на $- 8$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 96 + 12 (- x)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.6.1.5

Умножим $- 1$ на $12$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 96 - 12 x}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.6.1.6

Вычтем $96$ из $144$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{48 - 12 x}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.6.1.7

Вынесем множитель $12$ из $48 - 12 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.7.1

Вынесем множитель $12$ из $48$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{12 (4) - 12 x}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.6.1.7.2

Вынесем множитель $12$ из $- 12 x$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{12 (4) + 12 (- x)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.6.1.7.3

Вынесем множитель $12$ из $12 (4) + 12 (- x)$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{12 (4 - x)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.6.1.8

Перепишем $12 (4 - x)$ в виде $2^{2} \cdot (3 (2^{2} - x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.8.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (3) (4 - x)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.6.1.8.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (4 - x))}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.6.1.8.3

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (2^{2} - x))}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.6.1.8.4

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (2^{2} - x))}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.6.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{3 (2^{2} - x)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.6.1.10

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{3 (4 - x)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.6.2

Умножим $2$ на $- 3$ .

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{3 (4 - x)}}{- 6}$

Этап 2.6.3

Упростим $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{3 (4 - x)}}{- 6}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{3 (4 - x)}}{3}$

Этап 2.6.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = \frac{6 + \sqrt{3 (4 - x)}}{3}$

Этап 2.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1

Возведем $12$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 8 - x)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.7.1.2

Умножим $- 4$ на $- 3$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 12 \cdot (- 8 - x)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.7.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 12 \cdot - 8 + 12 (- x)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.7.1.4

Умножим $12$ на $- 8$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 96 + 12 (- x)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.7.1.5

Умножим $- 1$ на $12$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 96 - 12 x}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.7.1.6

Вычтем $96$ из $144$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{48 - 12 x}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.7.1.7

Вынесем множитель $12$ из $48 - 12 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.7.1

Вынесем множитель $12$ из $48$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{12 (4) - 12 x}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.7.1.7.2

Вынесем множитель $12$ из $- 12 x$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{12 (4) + 12 (- x)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.7.1.7.3

Вынесем множитель $12$ из $12 (4) + 12 (- x)$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{12 (4 - x)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.7.1.8

Перепишем $12 (4 - x)$ в виде $2^{2} \cdot (3 (2^{2} - x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.8.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (3) (4 - x)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.7.1.8.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (4 - x))}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.7.1.8.3

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (2^{2} - x))}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.7.1.8.4

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (2^{2} - x))}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.7.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{3 (2^{2} - x)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.7.1.10

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{3 (4 - x)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.7.2

Умножим $2$ на $- 3$ .

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{3 (4 - x)}}{- 6}$

Этап 2.7.3

Упростим $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{3 (4 - x)}}{- 6}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{3 (4 - x)}}{3}$

Этап 2.7.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = \frac{6 - \sqrt{3 (4 - x)}}{3}$

Этап 2.8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = \frac{6 + \sqrt{3 (4 - x)}}{3}$

$y = \frac{6 - \sqrt{3 (4 - x)}}{3}$

$y = \frac{6 + \sqrt{3 (4 - x)}}{3}$

$y = \frac{6 - \sqrt{3 (4 - x)}}{3}$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{6 + \sqrt{3 (4 - x)}}{3}, \frac{6 - \sqrt{3 (4 - x)}}{3}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{6 + \sqrt{3 (4 - x)}}{3}, \frac{6 - \sqrt{3 (4 - x)}}{3}$ обратной к $f (x) = - 3 x^{2} + 12 x - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = - 3 x^{2} + 12 x - 8$ и $f^{- 1} (x) = \frac{6 + \sqrt{3 (4 - x)}}{3}, \frac{6 - \sqrt{3 (4 - x)}}{3}$ и сравним их.

Этап 4.2

Найдем множество значений $f (x) = - 3 x^{2} + 12 x - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$(- \infty, 4]$

Этап 4.3

Найдем область определения $\frac{6 + \sqrt{3 (4 - x)}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{3 (4 - x)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$3 (4 - x) \geq 0$

Этап 4.3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Разделим каждый член $3 (4 - x) \geq 0$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Разделим каждый член $3 (4 - x) \geq 0$ на $3$ .

$\frac{3 (4 - x)}{3} \geq \frac{0}{3}$

Этап 4.3.2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (4 - x)}{3} \geq \frac{0}{3}$

Этап 4.3.2.1.2.1.2

Разделим $4 - x$ на $1$ .

$4 - x \geq \frac{0}{3}$

Этап 4.3.2.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.3.1

Разделим $0$ на $3$ .

$4 - x \geq 0$

Этап 4.3.2.2

Вычтем $4$ из обеих частей неравенства.

$- x \geq - 4$

Этап 4.3.2.3

Разделим каждый член $- x \geq - 4$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.1

Разделим каждый член $- x \geq - 4$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Этап 4.3.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Этап 4.3.2.3.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{- 4}{- 1}$

Этап 4.3.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.3.1

Разделим $- 4$ на $- 1$ .

$x \leq 4$

Этап 4.3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 4]$

Этап 4.4

Найдем область определения $f (x) = - 3 x^{2} + 12 x - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

$(- \infty, \infty)$

Этап 4.5

Так как область определения $f^{- 1} (x) = \frac{6 + \sqrt{3 (4 - x)}}{3}, \frac{6 - \sqrt{3 (4 - x)}}{3}$ представляет множество значений, определяемых уравнением $f (x) = - 3 x^{2} + 12 x - 8$ , а множество значений, определяемое уравнениями $f^{- 1} (x) = \frac{6 + \sqrt{3 (4 - x)}}{3}, \frac{6 - \sqrt{3 (4 - x)}}{3}$ , представляет область определения $f (x) = - 3 x^{2} + 12 x - 8$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{6 + \sqrt{3 (4 - x)}}{3}, \frac{6 - \sqrt{3 (4 - x)}}{3}$ — обратная к $f (x) = - 3 x^{2} + 12 x - 8$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{6 + \sqrt{3 (4 - x)}}{3}, \frac{6 - \sqrt{3 (4 - x)}}{3}$

Этап 5