Тригонометрия Примеры

$y = 3 - \sqrt{x - 1}$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = 3 - \sqrt{y - 1}$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $3 - \sqrt{y - 1} = x$ .

$3 - \sqrt{y - 1} = x$

Этап 2.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$- \sqrt{y - 1} = x - 3$

Этап 2.3

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(- \sqrt{y - 1})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

Этап 2.4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y - 1}$ в виде ${(y - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

Этап 2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Упростим ${(- {(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Применим правило умножения к $- {(y - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

Этап 2.4.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 {({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

Этап 2.4.2.1.3

Умножим ${({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ на $1$ .

${({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

Этап 2.4.2.1.4

Перемножим экспоненты в ${({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 3)}^{2}$

Этап 2.4.2.1.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.4.2.1

Сократим общий множитель.

${(y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 3)}^{2}$

Этап 2.4.2.1.4.2.2

Перепишем это выражение.

${(y - 1)}^{1} = {(x - 3)}^{2}$

Этап 2.4.2.1.5

Упростим.

$y - 1 = {(x - 3)}^{2}$

Этап 2.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Упростим ${(x - 3)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1.1

Перепишем ${(x - 3)}^{2}$ в виде $(x - 3) (x - 3)$ .

$y - 1 = (x - 3) (x - 3)$

Этап 2.4.3.1.2

Развернем $(x - 3) (x - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 1 = x (x - 3) - 3 (x - 3)$

Этап 2.4.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 1 = x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)$

Этап 2.4.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 1 = x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3$

Этап 2.4.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$y - 1 = x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3$

Этап 2.4.3.1.3.1.2

Перенесем $- 3$ влево от $x$ .

$y - 1 = x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3$

Этап 2.4.3.1.3.1.3

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$y - 1 = x^{2} - 3 x - 3 x + 9$

Этап 2.4.3.1.3.2

Вычтем $3 x$ из $- 3 x$ .

$y - 1 = x^{2} - 6 x + 9$

Этап 2.5

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y = x^{2} - 6 x + 9 + 1$

Этап 2.5.2

Добавим $9$ и $1$ .

$y = x^{2} - 6 x + 10$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 6 x + 10$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = x^{2} - 6 x + 10$ обратной к $f (x) = 3 - \sqrt{x - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = {(3 - \sqrt{x - 1})}^{2} - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

Этап 4.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Перепишем ${(3 - \sqrt{x - 1})}^{2}$ в виде $(3 - \sqrt{x - 1}) (3 - \sqrt{x - 1})$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = (3 - \sqrt{x - 1}) (3 - \sqrt{x - 1}) - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

Этап 4.2.3.2

Развернем $(3 - \sqrt{x - 1}) (3 - \sqrt{x - 1})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 3 (3 - \sqrt{x - 1}) - \sqrt{x - 1} (3 - \sqrt{x - 1}) - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

Этап 4.2.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{x - 1}) - \sqrt{x - 1} (3 - \sqrt{x - 1}) - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

Этап 4.2.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{x - 1}) - \sqrt{x - 1} \cdot 3 - \sqrt{x - 1} (- \sqrt{x - 1}) - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

Этап 4.2.3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.3.1.1

Умножим $3$ на $3$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 9 + 3 (- \sqrt{x - 1}) - \sqrt{x - 1} \cdot 3 - \sqrt{x - 1} (- \sqrt{x - 1}) - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

Этап 4.2.3.3.1.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 9 - 3 \sqrt{x - 1} - \sqrt{x - 1} \cdot 3 - \sqrt{x - 1} (- \sqrt{x - 1}) - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

Этап 4.2.3.3.1.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 9 - 3 \sqrt{x - 1} - 3 \sqrt{x - 1} - \sqrt{x - 1} (- \sqrt{x - 1}) - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

Этап 4.2.3.3.1.4

Умножим $- \sqrt{x - 1} (- \sqrt{x - 1})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.3.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 9 - 3 \sqrt{x - 1} - 3 \sqrt{x - 1} + 1 \sqrt{x - 1} \sqrt{x - 1} - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

Этап 4.2.3.3.1.4.2

Умножим $\sqrt{x - 1}$ на $1$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 9 - 3 \sqrt{x - 1} - 3 \sqrt{x - 1} + \sqrt{x - 1} \sqrt{x - 1} - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

Этап 4.2.3.3.1.4.3

Возведем $\sqrt{x - 1}$ в степень $1$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 9 - 3 \sqrt{x - 1} - 3 \sqrt{x - 1} + \sqrt{x - 1} \sqrt{x - 1} - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

Этап 4.2.3.3.1.4.4

Возведем $\sqrt{x - 1}$ в степень $1$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 9 - 3 \sqrt{x - 1} - 3 \sqrt{x - 1} + \sqrt{x - 1} \sqrt{x - 1} - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

Этап 4.2.3.3.1.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 9 - 3 \sqrt{x - 1} - 3 \sqrt{x - 1} + {\sqrt{x - 1}}^{1 + 1} - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

Этап 4.2.3.3.1.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 9 - 3 \sqrt{x - 1} - 3 \sqrt{x - 1} + {\sqrt{x - 1}}^{2} - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

Этап 4.2.3.3.1.5

Перепишем ${\sqrt{x - 1}}^{2}$ в виде $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.3.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x - 1}$ в виде ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 9 - 3 \sqrt{x - 1} - 3 \sqrt{x - 1} + {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

Этап 4.2.3.3.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 9 - 3 \sqrt{x - 1} - 3 \sqrt{x - 1} + {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

Этап 4.2.3.3.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 9 - 3 \sqrt{x - 1} - 3 \sqrt{x - 1} + {(x - 1)}^{\frac{2}{2}} - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

Этап 4.2.3.3.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.3.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 9 - 3 \sqrt{x - 1} - 3 \sqrt{x - 1} + {(x - 1)}^{\frac{2}{2}} - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

Этап 4.2.3.3.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 9 - 3 \sqrt{x - 1} - 3 \sqrt{x - 1} + x - 1 - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

Этап 4.2.3.3.1.5.5

Упростим.

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 9 - 3 \sqrt{x - 1} - 3 \sqrt{x - 1} + x - 1 - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

Этап 4.2.3.3.2

Вычтем $1$ из $9$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 8 - 3 \sqrt{x - 1} - 3 \sqrt{x - 1} + x - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

Этап 4.2.3.3.3

Вычтем $3 \sqrt{x - 1}$ из $- 3 \sqrt{x - 1}$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 8 - 6 \sqrt{x - 1} + x - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

Этап 4.2.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 8 - 6 \sqrt{x - 1} + x - 6 \cdot 3 - 6 (- \sqrt{x - 1}) + 10$

Этап 4.2.3.5

Умножим $- 6$ на $3$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 8 - 6 \sqrt{x - 1} + x - 18 - 6 (- \sqrt{x - 1}) + 10$

Этап 4.2.3.6

Умножим $- 1$ на $- 6$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 8 - 6 \sqrt{x - 1} + x - 18 + 6 \sqrt{x - 1} + 10$

Этап 4.2.4

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Объединим противоположные члены в $8 - 6 \sqrt{x - 1} + x - 18 + 6 \sqrt{x - 1} + 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1.1

Добавим $- 6 \sqrt{x - 1}$ и $6 \sqrt{x - 1}$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 8 + x - 18 + 0 + 10$

Этап 4.2.4.1.2

Добавим $8 + x - 18$ и $0$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 8 + x - 18 + 10$

Этап 4.2.4.2

Вычтем $18$ из $8$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = x - 10 + 10$

Этап 4.2.4.3

Объединим противоположные члены в $x - 10 + 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.3.1

Добавим $- 10$ и $10$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = x + 0$

Этап 4.2.4.3.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (x^{2} - 6 x + 10)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (x^{2} - 6 x + 10) = 3 - \sqrt{(x^{2} - 6 x + 10) - 1}$

Этап 4.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Вычтем $1$ из $10$ .

$f (x^{2} - 6 x + 10) = 3 - \sqrt{x^{2} - 6 x + 9}$

Этап 4.3.3.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$f (x^{2} - 6 x + 10) = 3 - \sqrt{x^{2} - 6 x + 3^{2}}$

Этап 4.3.3.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Этап 4.3.3.2.3

Перепишем многочлен.

$f (x^{2} - 6 x + 10) = 3 - \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}}$

Этап 4.3.3.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$f (x^{2} - 6 x + 10) = 3 - \sqrt{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 4.3.3.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (x^{2} - 6 x + 10) = 3 - (x - 3)$

Этап 4.3.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x^{2} - 6 x + 10) = 3 - x + 3$

Этап 4.3.3.5

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$f (x^{2} - 6 x + 10) = 3 - x + 3$

Этап 4.3.4

Добавим $3$ и $3$ .

$f (x^{2} - 6 x + 10) = - x + 6$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = x^{2} - 6 x + 10$ — обратная к $f (x) = 3 - \sqrt{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 6 x + 10$