Тригонометрия Примеры

$y = \sqrt{x} - 3$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \sqrt{y} - 3$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt{y} - 3 = x$ .

$\sqrt{y} - 3 = x$

Этап 2.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$\sqrt{y} = x + 3$

Этап 2.3

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{y}}^{2} = {(x + 3)}^{2}$

Этап 2.4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y}$ в виде $y^{\frac{1}{2}}$ .

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 3)}^{2}$

Этап 2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Упростим ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 3)}^{2}$

Этап 2.4.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 3)}^{2}$

Этап 2.4.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{1} = {(x + 3)}^{2}$

Этап 2.4.2.1.2

Упростим.

$y = {(x + 3)}^{2}$

Этап 2.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Упростим ${(x + 3)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1.1

Перепишем ${(x + 3)}^{2}$ в виде $(x + 3) (x + 3)$ .

$y = (x + 3) (x + 3)$

Этап 2.4.3.1.2

Развернем $(x + 3) (x + 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = x (x + 3) + 3 (x + 3)$

Этап 2.4.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3)$

Этап 2.4.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3$

Этап 2.4.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$y = x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3$

Этап 2.4.3.1.3.1.2

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$y = x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3$

Этап 2.4.3.1.3.1.3

Умножим $3$ на $3$ .

$y = x^{2} + 3 x + 3 x + 9$

Этап 2.4.3.1.3.2

Добавим $3 x$ и $3 x$ .

$y = x^{2} + 6 x + 9$

Этап 3

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = x^{2} + 6 x + 9$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = x^{2} + 6 x + 9$ обратной к $f (x) = \sqrt{x} - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\sqrt{x} - 3)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = {(\sqrt{x} - 3)}^{2} + 6 (\sqrt{x} - 3) + 9$

Этап 4.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Перепишем ${(\sqrt{x} - 3)}^{2}$ в виде $(\sqrt{x} - 3) (\sqrt{x} - 3)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = (\sqrt{x} - 3) (\sqrt{x} - 3) + 6 (\sqrt{x} - 3) + 9$

Этап 4.2.3.2

Развернем $(\sqrt{x} - 3) (\sqrt{x} - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = \sqrt{x} (\sqrt{x} - 3) - 3 (\sqrt{x} - 3) + 6 (\sqrt{x} - 3) + 9$

Этап 4.2.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = \sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot - 3 - 3 (\sqrt{x} - 3) + 6 (\sqrt{x} - 3) + 9$

Этап 4.2.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = \sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot - 3 - 3 \sqrt{x} - 3 \cdot - 3 + 6 (\sqrt{x} - 3) + 9$

Этап 4.2.3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.3.1.1

Умножим $\sqrt{x} \sqrt{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.3.1.1.1

Возведем $\sqrt{x}$ в степень $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = \sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot - 3 - 3 \sqrt{x} - 3 \cdot - 3 + 6 (\sqrt{x} - 3) + 9$

Этап 4.2.3.3.1.1.2

Возведем $\sqrt{x}$ в степень $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = \sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot - 3 - 3 \sqrt{x} - 3 \cdot - 3 + 6 (\sqrt{x} - 3) + 9$

Этап 4.2.3.3.1.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = {\sqrt{x}}^{1 + 1} + \sqrt{x} \cdot - 3 - 3 \sqrt{x} - 3 \cdot - 3 + 6 (\sqrt{x} - 3) + 9$

Этап 4.2.3.3.1.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = {\sqrt{x}}^{2} + \sqrt{x} \cdot - 3 - 3 \sqrt{x} - 3 \cdot - 3 + 6 (\sqrt{x} - 3) + 9$

Этап 4.2.3.3.1.2

Перепишем ${\sqrt{x}}^{2}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.3.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{x} \cdot - 3 - 3 \sqrt{x} - 3 \cdot - 3 + 6 (\sqrt{x} - 3) + 9$

Этап 4.2.3.3.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = x^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{x} \cdot - 3 - 3 \sqrt{x} - 3 \cdot - 3 + 6 (\sqrt{x} - 3) + 9$

Этап 4.2.3.3.1.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = x^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x} \cdot - 3 - 3 \sqrt{x} - 3 \cdot - 3 + 6 (\sqrt{x} - 3) + 9$

Этап 4.2.3.3.1.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.3.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = x^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x} \cdot - 3 - 3 \sqrt{x} - 3 \cdot - 3 + 6 (\sqrt{x} - 3) + 9$

Этап 4.2.3.3.1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = x + \sqrt{x} \cdot - 3 - 3 \sqrt{x} - 3 \cdot - 3 + 6 (\sqrt{x} - 3) + 9$

Этап 4.2.3.3.1.2.5

Упростим.

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = x + \sqrt{x} \cdot - 3 - 3 \sqrt{x} - 3 \cdot - 3 + 6 (\sqrt{x} - 3) + 9$

Этап 4.2.3.3.1.3

Перенесем $- 3$ влево от $\sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = x - 3 \cdot \sqrt{x} - 3 \sqrt{x} - 3 \cdot - 3 + 6 (\sqrt{x} - 3) + 9$

Этап 4.2.3.3.1.4

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = x - 3 \sqrt{x} - 3 \sqrt{x} + 9 + 6 (\sqrt{x} - 3) + 9$

Этап 4.2.3.3.2

Вычтем $3 \sqrt{x}$ из $- 3 \sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = x - 6 \sqrt{x} + 9 + 6 (\sqrt{x} - 3) + 9$

Этап 4.2.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = x - 6 \sqrt{x} + 9 + 6 \sqrt{x} + 6 \cdot - 3 + 9$

Этап 4.2.3.5

Умножим $6$ на $- 3$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = x - 6 \sqrt{x} + 9 + 6 \sqrt{x} - 18 + 9$

Этап 4.2.4

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Объединим противоположные члены в $x - 6 \sqrt{x} + 9 + 6 \sqrt{x} - 18 + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1.1

Добавим $- 6 \sqrt{x}$ и $6 \sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = x + 0 + 9 - 18 + 9$

Этап 4.2.4.1.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = x + 9 - 18 + 9$

Этап 4.2.4.2

Вычтем $18$ из $9$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = x - 9 + 9$

Этап 4.2.4.3

Объединим противоположные члены в $x - 9 + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.3.1

Добавим $- 9$ и $9$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = x + 0$

Этап 4.2.4.3.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (x^{2} + 6 x + 9)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (x^{2} + 6 x + 9) = \sqrt{x^{2} + 6 x + 9} - 3$

Этап 4.3.3

Избавимся от скобок.

$f (x^{2} + 6 x + 9) = \sqrt{x^{2} + 6 x + 9} - 3$

Этап 4.3.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$f (x^{2} + 6 x + 9) = \sqrt{x^{2} + 6 x + 3^{2}} - 3$

Этап 4.3.4.1.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Этап 4.3.4.1.3

Перепишем многочлен.

$f (x^{2} + 6 x + 9) = \sqrt{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}} - 3$

Этап 4.3.4.1.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$f (x^{2} + 6 x + 9) = \sqrt{{(x + 3)}^{2}} - 3$

Этап 4.3.4.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (x^{2} + 6 x + 9) = x + 3 - 3$

Этап 4.3.5

Объединим противоположные члены в $x + 3 - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Вычтем $3$ из $3$ .

$f (x^{2} + 6 x + 9) = x + 0$

Этап 4.3.5.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (x^{2} + 6 x + 9) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = x^{2} + 6 x + 9$ — обратная к $f (x) = \sqrt{x} - 3$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} + 6 x + 9$