Тригонометрия Примеры

$y = \sqrt{7 x + 4}$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \sqrt{7 y + 4}$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt{7 y + 4} = x$ .

$\sqrt{7 y + 4} = x$

Этап 2.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{7 y + 4}}^{2} = x^{2}$

Этап 2.3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7 y + 4}$ в виде ${(7 y + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(7 y + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Упростим ${({(7 y + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(7 y + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(7 y + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Этап 2.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(7 y + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Этап 2.3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(7 y + 4)}^{1} = x^{2}$

Этап 2.3.2.1.2

Упростим.

$7 y + 4 = x^{2}$

Этап 2.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$7 y = x^{2} - 4$

Этап 2.4.2

Разделим каждый член $7 y = x^{2} - 4$ на $7$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Разделим каждый член $7 y = x^{2} - 4$ на $7$ .

$\frac{7 y}{7} = \frac{x^{2}}{7} + \frac{- 4}{7}$

Этап 2.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7 y}{7} = \frac{x^{2}}{7} + \frac{- 4}{7}$

Этап 2.4.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{7} + \frac{- 4}{7}$

Этап 2.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{x^{2}}{7} - \frac{4}{7}$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{7} - \frac{4}{7}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{7} - \frac{4}{7}$ обратной к $f (x) = \sqrt{7 x + 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\sqrt{7 x + 4})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{7 x + 4}) = \frac{{(\sqrt{7 x + 4})}^{2}}{7} - \frac{4}{7}$

Этап 4.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\sqrt{7 x + 4}) = \frac{{(\sqrt{7 x + 4})}^{2} - 4}{7}$

Этап 4.2.4

Перепишем ${\sqrt{7 x + 4}}^{2}$ в виде $7 x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7 x + 4}$ в виде ${(7 x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{7 x + 4}) = \frac{{({(7 x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4}{7}$

Этап 4.2.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{7 x + 4}) = \frac{{(7 x + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4}{7}$

Этап 4.2.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{7 x + 4}) = \frac{{(7 x + 4)}^{\frac{2}{2}} - 4}{7}$

Этап 4.2.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\sqrt{7 x + 4}) = \frac{{(7 x + 4)}^{\frac{2}{2}} - 4}{7}$

Этап 4.2.4.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\sqrt{7 x + 4}) = \frac{(7 x + 4) - 4}{7}$

Этап 4.2.4.5

Упростим.

$f^{- 1} (\sqrt{7 x + 4}) = \frac{7 x + 4 - 4}{7}$

Этап 4.2.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Объединим противоположные члены в $7 x + 4 - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1.1

Вычтем $4$ из $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt{7 x + 4}) = \frac{7 x + 0}{7}$

Этап 4.2.5.1.2

Добавим $7 x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{7 x + 4}) = \frac{7 x}{7}$

Этап 4.2.5.2

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.2.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\sqrt{7 x + 4}) = \frac{7 x}{7}$

Этап 4.2.5.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{7 x + 4}) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\frac{x^{2}}{7} - \frac{4}{7})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{7} - \frac{4}{7}) = \sqrt{7 (\frac{x^{2}}{7} - \frac{4}{7}) + 4}$

Этап 4.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{x^{2}}{7} - \frac{4}{7}) = \sqrt{7 (\frac{x^{2}}{7}) + 7 (- \frac{4}{7}) + 4}$

Этап 4.3.4

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x^{2}}{7} - \frac{4}{7}) = \sqrt{7 (\frac{x^{2}}{7}) + 7 (- \frac{4}{7}) + 4}$

Этап 4.3.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x^{2}}{7} - \frac{4}{7}) = \sqrt{x^{2} + 7 (- \frac{4}{7}) + 4}$

Этап 4.3.5

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{4}{7}$ в числитель.

$f (\frac{x^{2}}{7} - \frac{4}{7}) = \sqrt{x^{2} + 7 (\frac{- 4}{7}) + 4}$

Этап 4.3.5.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x^{2}}{7} - \frac{4}{7}) = \sqrt{x^{2} + 7 (\frac{- 4}{7}) + 4}$

Этап 4.3.5.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x^{2}}{7} - \frac{4}{7}) = \sqrt{x^{2} - 4 + 4}$

Этап 4.3.6

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.1

Добавим $- 4$ и $4$ .

$f (\frac{x^{2}}{7} - \frac{4}{7}) = \sqrt{x^{2} + 0}$

Этап 4.3.6.2

Добавим $x^{2}$ и $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{7} - \frac{4}{7}) = \sqrt{x^{2}}$

Этап 4.3.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (\frac{x^{2}}{7} - \frac{4}{7}) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{7} - \frac{4}{7}$ — обратная к $f (x) = \sqrt{7 x + 4}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{7} - \frac{4}{7}$