Тригонометрия Примеры

$y = \csc (3 x) - 1$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \csc (3 y) - 1$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\csc (3 y) - 1 = x$ .

$\csc (3 y) - 1 = x$

Этап 2.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$\csc (3 y) = x + 1$

Этап 2.3

Применим обратный косеканс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $y$ из-под знака косеканса.

$3 y = arccsc (x + 1)$

Этап 2.4

Разделим каждый член $3 y = arccsc (x + 1)$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Разделим каждый член $3 y = arccsc (x + 1)$ на $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{arccsc (x + 1)}{3}$

Этап 2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y}{3} = \frac{arccsc (x + 1)}{3}$

Этап 2.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{arccsc (x + 1)}{3}$

Этап 3

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{arccsc (x + 1)}{3}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{arccsc (x + 1)}{3}$ обратной к $f (x) = \csc (3 x) - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\csc (3 x) - 1)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\csc (3 x) - 1) = \frac{arccsc ((\csc (3 x) - 1) + 1)}{3}$

Этап 4.2.3

Объединим противоположные члены в $\csc (3 x) - 1 + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$f^{- 1} (\csc (3 x) - 1) = \frac{arccsc (\csc (3 x) + 0)}{3}$

Этап 4.2.3.2

Добавим $\csc (3 x)$ и $0$ .

$f^{- 1} (\csc (3 x) - 1) = \frac{arccsc (\csc (3 x))}{3}$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\frac{arccsc (x + 1)}{3})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{arccsc (x + 1)}{3}) = \csc (3 (\frac{arccsc (x + 1)}{3})) - 1$

Этап 4.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{arccsc (x + 1)}{3}) = \csc (3 (\frac{arccsc (x + 1)}{3})) - 1$

Этап 4.3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{arccsc (x + 1)}{3}) = \csc (arccsc (x + 1)) - 1$

Этап 4.3.3.2

Косеканс и арккосеканс — обратные функции.

$f (\frac{arccsc (x + 1)}{3}) = x + 1 - 1$

Этап 4.3.4

Объединим противоположные члены в $x + 1 - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$f (\frac{arccsc (x + 1)}{3}) = x + 0$

Этап 4.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (\frac{arccsc (x + 1)}{3}) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{arccsc (x + 1)}{3}$ — обратная к $f (x) = \csc (3 x) - 1$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{arccsc (x + 1)}{3}$