Тригонометрия Примеры

$y = \arcsin (5 - 3 x^{2})$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \arcsin (5 - 3 y^{2})$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\arcsin (5 - 3 y^{2}) = x$ .

$\arcsin (5 - 3 y^{2}) = x$

Этап 2.2

Возьмем обратный арксинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из арксинуса.

$5 - 3 y^{2} = \sin (x)$

Этап 2.3

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$- 3 y^{2} = \sin (x) - 5$

Этап 2.4

Разделим каждый член $- 3 y^{2} = \sin (x) - 5$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Разделим каждый член $- 3 y^{2} = \sin (x) - 5$ на $- 3$ .

$\frac{- 3 y^{2}}{- 3} = \frac{\sin (x)}{- 3} + \frac{- 5}{- 3}$

Этап 2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 y^{2}}{- 3} = \frac{\sin (x)}{- 3} + \frac{- 5}{- 3}$

Этап 2.4.2.1.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{\sin (x)}{- 3} + \frac{- 5}{- 3}$

Этап 2.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{2} = - \frac{\sin (x)}{3} + \frac{- 5}{- 3}$

Этап 2.4.3.1.2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$y^{2} = - \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}$

Этап 2.5

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

Этап 2.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

Этап 2.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

Этап 2.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

$y = - \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

$y = \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

$y = - \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

$y = \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

$y = - \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

Этап 3

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}, - \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}, - \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$ обратной к $f (x) = \arcsin (5 - 3 x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = \arcsin (5 - 3 x^{2})$ и $f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}, - \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$ и сравним их.

Этап 4.2

Найдем множество значений $f (x) = \arcsin (5 - 3 x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$

Этап 4.3

Найдем область определения $\sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3} \geq 0$

Этап 4.3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вычтем $\frac{5}{3}$ из обеих частей неравенства.

$- \frac{\sin (x)}{3} \geq - \frac{5}{3}$

Этап 4.3.2.2

Поскольку выражения в каждой части уравнения имеют одинаковые знаменатели, числители должны быть равны.

$- \sin (x) \geq - 5$

Этап 4.3.2.3

Разделим каждый член $- \sin (x) \geq - 5$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.1

Разделим каждый член $- \sin (x) \geq - 5$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- \sin (x)}{- 1} \leq \frac{- 5}{- 1}$

Этап 4.3.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\sin (x)}{1} \leq \frac{- 5}{- 1}$

Этап 4.3.2.3.2.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) \leq \frac{- 5}{- 1}$

Этап 4.3.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.3.1

Разделим $- 5$ на $- 1$ .

$\sin (x) \leq 5$

Этап 4.3.2.4

Множество значений синуса: $- 1 \leq y \leq 1$ . Поскольку $5$ не попадает в этот диапазон, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 4.3.3

Область определения ― все вещественные числа.

$(- \infty, \infty)$

Этап 4.4

Так как область определения $f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}, - \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$ не совпадает со множеством значений $f (x) = \arcsin (5 - 3 x^{2})$ , то $f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}, - \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$ не является функцией, обратной к $f (x) = \arcsin (5 - 3 x^{2})$ .

Обратная не существует

Этап 5