Тригонометрия Примеры

$y = 6 x^{2} - 9 x - 1$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = 6 y^{2} - 9 y - 1$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $6 y^{2} - 9 y - 1 = x$ .

$6 y^{2} - 9 y - 1 = x$

Этап 2.2

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$6 y^{2} - 9 y - 1 - x = 0$

Этап 2.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.4

Подставим значения $a = 6$ , $b = - 9$ и $c = - 1 - x$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (6 \cdot (- 1 - x))}}{2 \cdot 6}$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Возведем $- 9$ в степень $2$ .

$y = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 6 \cdot (- 1 - x)}}{2 \cdot 6}$

Этап 2.5.1.2

Умножим $- 4$ на $6$ .

$y = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 24 \cdot (- 1 - x)}}{2 \cdot 6}$

Этап 2.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 24 \cdot - 1 - 24 (- x)}}{2 \cdot 6}$

Этап 2.5.1.4

Умножим $- 24$ на $- 1$ .

$y = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 24 - 24 (- x)}}{2 \cdot 6}$

Этап 2.5.1.5

Умножим $- 1$ на $- 24$ .

$y = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 24 + 24 x}}{2 \cdot 6}$

Этап 2.5.1.6

Добавим $81$ и $24$ .

$y = \frac{9 \pm \sqrt{105 + 24 x}}{2 \cdot 6}$

Этап 2.5.1.7

Вынесем множитель $3$ из $105 + 24 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.7.1

Вынесем множитель $3$ из $105$ .

$y = \frac{9 \pm \sqrt{3 (35) + 24 x}}{2 \cdot 6}$

Этап 2.5.1.7.2

Вынесем множитель $3$ из $24 x$ .

$y = \frac{9 \pm \sqrt{3 (35) + 3 (8 x)}}{2 \cdot 6}$

Этап 2.5.1.7.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (35) + 3 (8 x)$ .

$y = \frac{9 \pm \sqrt{3 (35 + 8 x)}}{2 \cdot 6}$

Этап 2.5.2

Умножим $2$ на $6$ .

$y = \frac{9 \pm \sqrt{3 (35 + 8 x)}}{12}$

Этап 2.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Возведем $- 9$ в степень $2$ .

$y = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 6 \cdot (- 1 - x)}}{2 \cdot 6}$

Этап 2.6.1.2

Умножим $- 4$ на $6$ .

$y = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 24 \cdot (- 1 - x)}}{2 \cdot 6}$

Этап 2.6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 24 \cdot - 1 - 24 (- x)}}{2 \cdot 6}$

Этап 2.6.1.4

Умножим $- 24$ на $- 1$ .

$y = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 24 - 24 (- x)}}{2 \cdot 6}$

Этап 2.6.1.5

Умножим $- 1$ на $- 24$ .

$y = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 24 + 24 x}}{2 \cdot 6}$

Этап 2.6.1.6

Добавим $81$ и $24$ .

$y = \frac{9 \pm \sqrt{105 + 24 x}}{2 \cdot 6}$

Этап 2.6.1.7

Вынесем множитель $3$ из $105 + 24 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.7.1

Вынесем множитель $3$ из $105$ .

$y = \frac{9 \pm \sqrt{3 (35) + 24 x}}{2 \cdot 6}$

Этап 2.6.1.7.2

Вынесем множитель $3$ из $24 x$ .

$y = \frac{9 \pm \sqrt{3 (35) + 3 (8 x)}}{2 \cdot 6}$

Этап 2.6.1.7.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (35) + 3 (8 x)$ .

$y = \frac{9 \pm \sqrt{3 (35 + 8 x)}}{2 \cdot 6}$

Этап 2.6.2

Умножим $2$ на $6$ .

$y = \frac{9 \pm \sqrt{3 (35 + 8 x)}}{12}$

Этап 2.6.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = \frac{9 + \sqrt{3 (35 + 8 x)}}{12}$

Этап 2.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1

Возведем $- 9$ в степень $2$ .

$y = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 6 \cdot (- 1 - x)}}{2 \cdot 6}$

Этап 2.7.1.2

Умножим $- 4$ на $6$ .

$y = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 24 \cdot (- 1 - x)}}{2 \cdot 6}$

Этап 2.7.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 24 \cdot - 1 - 24 (- x)}}{2 \cdot 6}$

Этап 2.7.1.4

Умножим $- 24$ на $- 1$ .

$y = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 24 - 24 (- x)}}{2 \cdot 6}$

Этап 2.7.1.5

Умножим $- 1$ на $- 24$ .

$y = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 24 + 24 x}}{2 \cdot 6}$

Этап 2.7.1.6

Добавим $81$ и $24$ .

$y = \frac{9 \pm \sqrt{105 + 24 x}}{2 \cdot 6}$

Этап 2.7.1.7

Вынесем множитель $3$ из $105 + 24 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.7.1

Вынесем множитель $3$ из $105$ .

$y = \frac{9 \pm \sqrt{3 (35) + 24 x}}{2 \cdot 6}$

Этап 2.7.1.7.2

Вынесем множитель $3$ из $24 x$ .

$y = \frac{9 \pm \sqrt{3 (35) + 3 (8 x)}}{2 \cdot 6}$

Этап 2.7.1.7.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (35) + 3 (8 x)$ .

$y = \frac{9 \pm \sqrt{3 (35 + 8 x)}}{2 \cdot 6}$

Этап 2.7.2

Умножим $2$ на $6$ .

$y = \frac{9 \pm \sqrt{3 (35 + 8 x)}}{12}$

Этап 2.7.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = \frac{9 - \sqrt{3 (35 + 8 x)}}{12}$

Этап 2.8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = \frac{9 + \sqrt{3 (35 + 8 x)}}{12}$

$y = \frac{9 - \sqrt{3 (35 + 8 x)}}{12}$

$y = \frac{9 + \sqrt{3 (35 + 8 x)}}{12}$

$y = \frac{9 - \sqrt{3 (35 + 8 x)}}{12}$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{9 + \sqrt{3 (35 + 8 x)}}{12}, \frac{9 - \sqrt{3 (35 + 8 x)}}{12}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{9 + \sqrt{3 (35 + 8 x)}}{12}, \frac{9 - \sqrt{3 (35 + 8 x)}}{12}$ обратной к $f (x) = 6 x^{2} - 9 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = 6 x^{2} - 9 x - 1$ и $f^{- 1} (x) = \frac{9 + \sqrt{3 (35 + 8 x)}}{12}, \frac{9 - \sqrt{3 (35 + 8 x)}}{12}$ и сравним их.

Этап 4.2

Найдем множество значений $f (x) = 6 x^{2} - 9 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[- \frac{35}{8}, \infty)$

Этап 4.3

Найдем область определения $\frac{9 + \sqrt{3 (35 + 8 x)}}{12}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{3 (35 + 8 x)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$3 (35 + 8 x) \geq 0$

Этап 4.3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Разделим каждый член $3 (35 + 8 x) \geq 0$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Разделим каждый член $3 (35 + 8 x) \geq 0$ на $3$ .

$\frac{3 (35 + 8 x)}{3} \geq \frac{0}{3}$

Этап 4.3.2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (35 + 8 x)}{3} \geq \frac{0}{3}$

Этап 4.3.2.1.2.1.2

Разделим $35 + 8 x$ на $1$ .

$35 + 8 x \geq \frac{0}{3}$

Этап 4.3.2.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.3.1

Разделим $0$ на $3$ .

$35 + 8 x \geq 0$

Этап 4.3.2.2

Вычтем $35$ из обеих частей неравенства.

$8 x \geq - 35$

Этап 4.3.2.3

Разделим каждый член $8 x \geq - 35$ на $8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.1

Разделим каждый член $8 x \geq - 35$ на $8$ .

$\frac{8 x}{8} \geq \frac{- 35}{8}$

Этап 4.3.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 x}{8} \geq \frac{- 35}{8}$

Этап 4.3.2.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{- 35}{8}$

Этап 4.3.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x \geq - \frac{35}{8}$

Этап 4.3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[- \frac{35}{8}, \infty)$

Этап 4.4

Найдем область определения $f (x) = 6 x^{2} - 9 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

$(- \infty, \infty)$

Этап 4.5

Так как область определения $f^{- 1} (x) = \frac{9 + \sqrt{3 (35 + 8 x)}}{12}, \frac{9 - \sqrt{3 (35 + 8 x)}}{12}$ представляет множество значений, определяемых уравнением $f (x) = 6 x^{2} - 9 x - 1$ , а множество значений, определяемое уравнениями $f^{- 1} (x) = \frac{9 + \sqrt{3 (35 + 8 x)}}{12}, \frac{9 - \sqrt{3 (35 + 8 x)}}{12}$ , представляет область определения $f (x) = 6 x^{2} - 9 x - 1$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{9 + \sqrt{3 (35 + 8 x)}}{12}, \frac{9 - \sqrt{3 (35 + 8 x)}}{12}$ — обратная к $f (x) = 6 x^{2} - 9 x - 1$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{9 + \sqrt{3 (35 + 8 x)}}{12}, \frac{9 - \sqrt{3 (35 + 8 x)}}{12}$

Этап 5