Тригонометрия Примеры

$y = 4 x^{2} - 1$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = 4 y^{2} - 1$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $4 y^{2} - 1 = x$ .

$4 y^{2} - 1 = x$

Этап 2.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$4 y^{2} = x + 1$

Этап 2.3

Разделим каждый член $4 y^{2} = x + 1$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $4 y^{2} = x + 1$ на $4$ .

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{x}{4} + \frac{1}{4}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{x}{4} + \frac{1}{4}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{4} + \frac{1}{4}$

Этап 2.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{4} + \frac{1}{4}}$

Этап 2.5

Упростим $\pm \sqrt{\frac{x}{4} + \frac{1}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 1}{4}}$

Этап 2.5.2

Перепишем $\frac{x + 1}{4}$ в виде ${(\frac{1}{2})}^{2} (x + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $x + 1$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x + 1)}{4}}$

Этап 2.5.2.2

Вынесем полную степень $2^{2}$ из $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x + 1)}{2^{2} \cdot 1}}$

Этап 2.5.2.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} (x + 1)}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (x + 1)}$

Этап 2.5.3

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{x + 1}$

Этап 2.5.4

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sqrt{x + 1}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 1}}{2}$

Этап 2.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{\sqrt{x + 1}}{2}$

Этап 2.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{\sqrt{x + 1}}{2}$

Этап 2.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt{x + 1}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x + 1}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x + 1}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x + 1}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x + 1}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x + 1}}{2}$

Этап 3

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{2}, - \frac{\sqrt{x + 1}}{2}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{2}, - \frac{\sqrt{x + 1}}{2}$ обратной к $f (x) = 4 x^{2} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = 4 x^{2} - 1$ и $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{2}, - \frac{\sqrt{x + 1}}{2}$ и сравним их.

Этап 4.2

Найдем множество значений $f (x) = 4 x^{2} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[- 1, \infty)$

Этап 4.3

Найдем область определения $\frac{\sqrt{x + 1}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x + 1}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x + 1 \geq 0$

Этап 4.3.2

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$x \geq - 1$

Этап 4.3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[- 1, \infty)$

Этап 4.4

Найдем область определения $f (x) = 4 x^{2} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

$(- \infty, \infty)$

Этап 4.5

Так как область определения $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{2}, - \frac{\sqrt{x + 1}}{2}$ представляет множество значений, определяемых уравнением $f (x) = 4 x^{2} - 1$ , а множество значений, определяемое уравнениями $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{2}, - \frac{\sqrt{x + 1}}{2}$ , представляет область определения $f (x) = 4 x^{2} - 1$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{2}, - \frac{\sqrt{x + 1}}{2}$ — обратная к $f (x) = 4 x^{2} - 1$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{2}, - \frac{\sqrt{x + 1}}{2}$

Этап 5