Тригонометрия Примеры

$y = \sin (\sqrt{x}) + 2$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \sin (\sqrt{y}) + 2$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\sin (\sqrt{y}) + 2 = x$ .

$\sin (\sqrt{y}) + 2 = x$

Этап 2.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$\sin (\sqrt{y}) = x - 2$

Этап 2.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из синуса.

$\sqrt{y} = \arcsin (x - 2)$

Этап 2.4

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{y}}^{2} = {\arcsin (x - 2)}^{2}$

Этап 2.5

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y}$ в виде $y^{\frac{1}{2}}$ .

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\arcsin (x - 2)}^{2}$

Этап 2.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Упростим ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\arcsin (x - 2)}^{2}$

Этап 2.5.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\arcsin (x - 2)}^{2}$

Этап 2.5.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{1} = {\arcsin (x - 2)}^{2}$

Этап 2.5.2.1.2

Упростим.

$y = {\arcsin (x - 2)}^{2}$

Этап 3

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = {\arcsin (x - 2)}^{2}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = {\arcsin (x - 2)}^{2}$ обратной к $f (x) = \sin (\sqrt{x}) + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\sin (\sqrt{x}) + 2)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sin (\sqrt{x}) + 2) = {\arcsin ((\sin (\sqrt{x}) + 2) - 2)}^{2}$

Этап 4.2.3

Объединим противоположные члены в $(\sin (\sqrt{x}) + 2) - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Вычтем $2$ из $2$ .

$f^{- 1} (\sin (\sqrt{x}) + 2) = {\arcsin (\sin (\sqrt{x}) + 0)}^{2}$

Этап 4.2.3.2

Добавим $\sin (\sqrt{x})$ и $0$ .

$f^{- 1} (\sin (\sqrt{x}) + 2) = {\arcsin (\sin (\sqrt{x}))}^{2}$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f ({\arcsin (x - 2)}^{2})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f ({\arcsin (x - 2)}^{2}) = \sin (\sqrt{{\arcsin (x - 2)}^{2}}) + 2$

Этап 4.3.3

Избавимся от скобок.

$f ({\arcsin (x - 2)}^{2}) = \sin (\sqrt{{\arcsin (x - 2)}^{2}}) + 2$

Этап 4.3.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f ({\arcsin (x - 2)}^{2}) = \sin (\arcsin (x - 2)) + 2$

Этап 4.3.4.2

Синус и арксинус — обратные функции.

$f ({\arcsin (x - 2)}^{2}) = x - 2 + 2$

Этап 4.3.5

Объединим противоположные члены в $x - 2 + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Добавим $- 2$ и $2$ .

$f ({\arcsin (x - 2)}^{2}) = x + 0$

Этап 4.3.5.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f ({\arcsin (x - 2)}^{2}) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = {\arcsin (x - 2)}^{2}$ — обратная к $f (x) = \sin (\sqrt{x}) + 2$ .

$f^{- 1} (x) = {\arcsin (x - 2)}^{2}$