Тригонометрия Примеры

$\log_{8} (x^{2} - x) > \log_{8} (42)$

Этап 1

Преобразуем неравенство в равенство.

$\log_{8} (x^{2} - x) = \log_{8} (42)$

Этап 2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$x^{2} - x = 42$

Этап 2.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вычтем $42$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - x - 42 = 0$

Этап 2.2.2

Разложим $x^{2} - x - 42$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 42$ , а сумма — $- 1$ .

$- 7, 6$

Этап 2.2.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 7) (x + 6) = 0$

Этап 2.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 7 = 0$

$x + 6 = 0$

Этап 2.2.4

Приравняем $x - 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Приравняем $x - 7$ к $0$ .

$x - 7 = 0$

Этап 2.2.4.2

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$x = 7$

Этап 2.2.5

Приравняем $x + 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Приравняем $x + 6$ к $0$ .

$x + 6 = 0$

Этап 2.2.5.2

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$x = - 6$

Этап 2.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 7) (x + 6) = 0$ верно.

$x = 7, - 6$

Этап 3

Найдем область определения $\log_{8} (\frac{x (x - 1)}{42})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим аргумент в $\log_{8} (\frac{x (x - 1)}{42})$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$\frac{x (x - 1)}{42} > 0$

Этап 3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим обе части на $42$ .

$\frac{x (x - 1)}{42} \cdot 42 > 0 \cdot 42$

Этап 3.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Упростим $\frac{x (x - 1)}{42} \cdot 42$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1.1

Сократим общий множитель $42$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x (x - 1)}{42} \cdot 42 > 0 \cdot 42$

Этап 3.2.2.1.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x (x - 1) > 0 \cdot 42$

Этап 3.2.2.1.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 1 > 0 \cdot 42$

Этап 3.2.2.1.1.1.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1.3.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 1 > 0 \cdot 42$

Этап 3.2.2.1.1.1.3.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$x^{2} - 1 \cdot x > 0 \cdot 42$

Этап 3.2.2.1.1.2

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$x^{2} - x > 0 \cdot 42$

Этап 3.2.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Умножим $0$ на $42$ .

$x^{2} - x > 0$

Этап 3.2.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{2} - x = 0$

Этап 3.2.3.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$x \cdot x - x = 0$

Этап 3.2.3.2.2

Вынесем множитель $x$ из $- x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 1 = 0$

Этап 3.2.3.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot - 1$ .

$x (x - 1) = 0$

Этап 3.2.3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 3.2.3.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 3.2.3.5

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.5.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 3.2.3.5.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 3.2.3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x - 1) = 0$ верно.

$x = 0, 1$

Этап 3.2.4

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Этап 3.2.5

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Проверим значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1.1

Выберем значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 3.2.5.1.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$\frac{(- 2) ((- 2) - 1)}{42} > 0$

Этап 3.2.5.1.3

Левая часть $0.\overline{142857}$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 3.2.5.2

Проверим значение на интервале $0 < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.2.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0.5$

Этап 3.2.5.2.2

Заменим $x$ на $0.5$ в исходном неравенстве.

$\frac{(0.5) ((0.5) - 1)}{42} > 0$

Этап 3.2.5.2.3

Левая часть $- 0.00595238$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 3.2.5.3

Проверим значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.3.1

Выберем значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 3.2.5.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\frac{(4) ((4) - 1)}{42} > 0$

Этап 3.2.5.3.3

Левая часть $0.\overline{285714}$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 3.2.5.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 0$ Истина

$0 < x < 1$ Ложь

$x > 1$ Истина

$x < 0$ Истина

$0 < x < 1$ Ложь

$x > 1$ Истина

Этап 3.2.6

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < 0$ или $x > 1$

Этап 3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 0) \cup (1, \infty)$

Этап 4

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 6$

$- 6 < x < 0$

$0 < x < 1$

$1 < x < 7$

$x > 7$

Этап 5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Проверим значение на интервале $x < - 6$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 6$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 8$

Этап 5.1.2

Заменим $x$ на $- 8$ в исходном неравенстве.

$\log_{8} ({(- 8)}^{2} - (- 8)) > \log_{8} (42)$

Этап 5.1.3

Левая часть $2.05664166$ больше правой части $1.79743914$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 5.2

Проверим значение на интервале $- 6 < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Выберем значение на интервале $- 6 < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 3$

Этап 5.2.2

Заменим $x$ на $- 3$ в исходном неравенстве.

$\log_{8} ({(- 3)}^{2} - (- 3)) > \log_{8} (42)$

Этап 5.2.3

Левая часть $1.1949875$ не больше правой части $1.79743914$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 5.3

Проверим значение на интервале $0 < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0.5$

Этап 5.3.2

Заменим $x$ на $0.5$ в исходном неравенстве.

$\log_{8} ({(0.5)}^{2} - (0.5)) > \log_{8} (42)$

Этап 5.3.3

Определим, является ли истинным это неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Уравнение невозможно решить, потому что оно не определено.

$Неопределенные$

Этап 5.3.3.2

Левая часть не имеет решения. Это означает, что данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 5.4

Проверим значение на интервале $1 < x < 7$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Выберем значение на интервале $1 < x < 7$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 5.4.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\log_{8} ({(4)}^{2} - (4)) > \log_{8} (42)$

Этап 5.4.3

Левая часть $1.1949875$ не больше правой части $1.79743914$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 5.5

Проверим значение на интервале $x > 7$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Выберем значение на интервале $x > 7$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 10$

Этап 5.5.2

Заменим $x$ на $10$ в исходном неравенстве.

$\log_{8} ({(10)}^{2} - (10)) > \log_{8} (42)$

Этап 5.5.3

Левая часть $2.16395103$ больше правой части $1.79743914$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 5.6

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 6$ Истина

$- 6 < x < 0$ Ложь

$0 < x < 1$ Ложь

$1 < x < 7$ Ложь

$x > 7$ Истина

$x < - 6$ Истина

$- 6 < x < 0$ Ложь

$0 < x < 1$ Ложь

$1 < x < 7$ Ложь

$x > 7$ Истина

Этап 6

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - 6$ или $x > 7$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x < - 6 or x > 7$

Интервальное представление:

$(- \infty, - 6) \cup (7, \infty)$

Этап 8