Тригонометрия Примеры

$\frac{a + b}{2} = \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}}$

Этап 1

Поскольку радикал находится в правой части уравнения, поменяем стороны, чтобы он оказался в левой части.

$\sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}} = \frac{a + b}{2}$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}}}^{2} = {(\frac{a + b}{2})}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}}$ в виде ${(\frac{a^{2} + b^{2}}{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(\frac{a^{2} + b^{2}}{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{a + b}{2})}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${({(\frac{a^{2} + b^{2}}{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(\frac{a^{2} + b^{2}}{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{a^{2} + b^{2}}{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{a + b}{2})}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(\frac{a^{2} + b^{2}}{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{a + b}{2})}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(\frac{a^{2} + b^{2}}{2})}^{1} = {(\frac{a + b}{2})}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$\frac{a^{2} + b^{2}}{2} = {(\frac{a + b}{2})}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(\frac{a + b}{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Применим правило умножения к $\frac{a + b}{2}$ .

$\frac{a^{2} + b^{2}}{2} = \frac{{(a + b)}^{2}}{2^{2}}$

Этап 3.3.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{a^{2} + b^{2}}{2} = \frac{{(a + b)}^{2}}{4}$

Этап 4

Решим относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим обе части на $2$ .

$\frac{a^{2} + b^{2}}{2} \cdot 2 = \frac{{(a + b)}^{2}}{4} \cdot 2$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{a^{2} + b^{2}}{2} \cdot 2 = \frac{{(a + b)}^{2}}{4} \cdot 2$

Этап 4.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$a^{2} + b^{2} = \frac{{(a + b)}^{2}}{4} \cdot 2$

Этап 4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$a^{2} + b^{2} = \frac{{(a + b)}^{2}}{2 (2)} \cdot 2$

Этап 4.2.2.1.2

Сократим общий множитель.

$a^{2} + b^{2} = \frac{{(a + b)}^{2}}{2 \cdot 2} \cdot 2$

Этап 4.2.2.1.3

Перепишем это выражение.

$a^{2} + b^{2} = \frac{{(a + b)}^{2}}{2}$

Этап 4.3

Решим относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим обе части на $2$ .

$(a^{2} + b^{2}) \cdot 2 = \frac{{(a + b)}^{2}}{2} \cdot 2$

Этап 4.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Упростим $(a^{2} + b^{2}) \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1.1

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$a^{2} \cdot 2 + b^{2} \cdot 2 = \frac{{(a + b)}^{2}}{2} \cdot 2$

Этап 4.3.2.1.1.1.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1.1.2.1

Перенесем $2$ влево от $a^{2}$ .

$2 \cdot a^{2} + b^{2} \cdot 2 = \frac{{(a + b)}^{2}}{2} \cdot 2$

Этап 4.3.2.1.1.1.2.2

Перенесем $2$ влево от $b^{2}$ .

$2 \cdot a^{2} + 2 \cdot b^{2} = \frac{{(a + b)}^{2}}{2} \cdot 2$

Этап 4.3.2.1.1.2

Умножим $2$ на $b^{2}$ .

$2 a^{2} + 2 b^{2} = \frac{{(a + b)}^{2}}{2} \cdot 2$

Этап 4.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$2 a^{2} + 2 b^{2} = \frac{{(a + b)}^{2}}{2} \cdot 2$

Этап 4.3.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$2 a^{2} + 2 b^{2} = {(a + b)}^{2}$

Этап 4.3.3

Решим относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Упростим ${(a + b)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.1

Перепишем.

$2 a^{2} + 2 b^{2} = 0 + 0 + {(a + b)}^{2}$

Этап 4.3.3.1.2

Перепишем ${(a + b)}^{2}$ в виде $(a + b) (a + b)$ .

$2 a^{2} + 2 b^{2} = (a + b) (a + b)$

Этап 4.3.3.1.3

Развернем $(a + b) (a + b)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 a^{2} + 2 b^{2} = a (a + b) + b (a + b)$

Этап 4.3.3.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 a^{2} + 2 b^{2} = a \cdot a + a b + b (a + b)$

Этап 4.3.3.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 a^{2} + 2 b^{2} = a \cdot a + a b + b a + b \cdot b$

Этап 4.3.3.1.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.4.1.1

Умножим $a$ на $a$ .

$2 a^{2} + 2 b^{2} = a^{2} + a b + b a + b \cdot b$

Этап 4.3.3.1.4.1.2

Умножим $b$ на $b$ .

$2 a^{2} + 2 b^{2} = a^{2} + a b + b a + b^{2}$

Этап 4.3.3.1.4.2

Добавим $a b$ и $b a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.4.2.1

Изменим порядок $b$ и $a$ .

$2 a^{2} + 2 b^{2} = a^{2} + a b + a b + b^{2}$

Этап 4.3.3.1.4.2.2

Добавим $a b$ и $a b$ .

$2 a^{2} + 2 b^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

Этап 4.3.3.2

Поскольку $a$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$a^{2} + 2 a b + b^{2} = 2 a^{2} + 2 b^{2}$

Этап 4.3.3.3

Перенесем все члены с $a$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.3.1

Вычтем $2 a^{2}$ из обеих частей уравнения.

$a^{2} + 2 a b + b^{2} - 2 a^{2} = 2 b^{2}$

Этап 4.3.3.3.2

Вычтем $2 a^{2}$ из $a^{2}$ .

$- a^{2} + 2 a b + b^{2} = 2 b^{2}$

Этап 4.3.3.4

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.4.1

Вычтем $2 b^{2}$ из обеих частей уравнения.

$- a^{2} + 2 a b + b^{2} - 2 b^{2} = 0$

Этап 4.3.3.4.2

Вычтем $2 b^{2}$ из $b^{2}$ .

$- a^{2} + 2 a b - b^{2} = 0$

Этап 4.3.3.5

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.3.3.6

Подставим значения $a = - 1$ , $b = 2 b$ и $c = - b^{2}$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $a$ .

$\frac{- 2 b \pm \sqrt{{(2 b)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot (- b^{2}))}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.3.3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.7.1.1

Перепишем $- 4 \cdot - 1 b^{2}$ в виде ${(2 b)}^{2}$ .

$a = \frac{- 2 b \pm \sqrt{{(2 b)}^{2} - {(2 b)}^{2}}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.3.3.7.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 2 b$ и $b = 2 b$ .

$a = \frac{- 2 b \pm \sqrt{(2 b + 2 b) (2 b - (2 b))}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.3.3.7.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.7.1.3.1

Добавим $2 b$ и $2 b$ .

$a = \frac{- 2 b \pm \sqrt{4 b (2 b - (2 b))}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.3.3.7.1.3.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$a = \frac{- 2 b \pm \sqrt{4 b (2 b - 2 b)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.3.3.7.1.4

Вычтем $2 b$ из $2 b$ .

$a = \frac{- 2 b \pm \sqrt{4 b \cdot 0}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.3.3.7.1.5

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.7.1.5.1

Умножим $0$ на $4$ .

$a = \frac{- 2 b \pm \sqrt{0 b}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.3.3.7.1.5.2

Умножим $0$ на $b$ .

$a = \frac{- 2 b \pm \sqrt{0}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.3.3.7.1.6

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$a = \frac{- 2 b \pm \sqrt{0^{2}}}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.3.3.7.1.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$a = \frac{- 2 b \pm 0}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.3.3.7.1.8

$- 2 b$ plus or minus $0$ is $- 2 b$ .

$a = \frac{- 2 b}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.3.3.7.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$a = \frac{- 2 b}{- 2}$

Этап 4.3.3.7.3

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.7.3.1

Сократим общий множитель.

$a = \frac{- 2 b}{- 2}$

Этап 4.3.3.7.3.2

Разделим $b$ на $1$ .

$a = b$

Этап 4.3.3.8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

Двойные корни $a = b$