Тригонометрия Примеры

$(3 x - 1) (x - 1) < 7$

Этап 1

Упростим $(3 x - 1) (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Развернем $(3 x - 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x (x - 1) - 1 (x - 1) < 7$

Этап 1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 - 1 (x - 1) < 7$

Этап 1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 < 7$

Этап 1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.1

Перенесем $x$ .

$3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 < 7$

Этап 1.2.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$3 x^{2} + 3 x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 < 7$

Этап 1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$3 x^{2} - 3 x - 1 x - 1 \cdot - 1 < 7$

Этап 1.2.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$3 x^{2} - 3 x - x - 1 \cdot - 1 < 7$

Этап 1.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$3 x^{2} - 3 x - x + 1 < 7$

Этап 1.2.2

Вычтем $x$ из $- 3 x$ .

$3 x^{2} - 4 x + 1 < 7$

Этап 2

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $7$ из обеих частей неравенства.

$3 x^{2} - 4 x + 1 - 7 < 0$

Этап 2.2

Вычтем $7$ из $1$ .

$3 x^{2} - 4 x - 6 < 0$

Этап 3

Преобразуем неравенство в уравнение.

$3 x^{2} - 4 x - 6 = 0$

Этап 4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5

Подставим значения $a = 3$ , $b = - 4$ и $c = - 6$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 6)}}{2 \cdot 3}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3 \cdot - 6}}{2 \cdot 3}$

Этап 6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12 \cdot - 6}}{2 \cdot 3}$

Этап 6.1.2.2

Умножим $- 12$ на $- 6$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 72}}{2 \cdot 3}$

Этап 6.1.3

Добавим $16$ и $72$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{88}}{2 \cdot 3}$

Этап 6.1.4

Перепишем $88$ в виде $2^{2} \cdot 22$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $88$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (22)}}{2 \cdot 3}$

Этап 6.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 22}}{2 \cdot 3}$

Этап 6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{22}}{2 \cdot 3}$

Этап 6.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{22}}{6}$

Этап 6.3

Упростим $\frac{4 \pm 2 \sqrt{22}}{6}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{22}}{3}$

Этап 7

Объединим решения.

$x = \frac{2 + \sqrt{22}}{3}, \frac{2 - \sqrt{22}}{3}$

Этап 8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < \frac{2 - \sqrt{22}}{3}$

$\frac{2 - \sqrt{22}}{3} < x < \frac{2 + \sqrt{22}}{3}$

$x > \frac{2 + \sqrt{22}}{3}$

Этап 9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Проверим значение на интервале $x < \frac{2 - \sqrt{22}}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Выберем значение на интервале $x < \frac{2 - \sqrt{22}}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 3$

Этап 9.1.2

Заменим $x$ на $- 3$ в исходном неравенстве.

$(3 (- 3) - 1) ((- 3) - 1) < 7$

Этап 9.1.3

Левая часть $40$ не меньше правой части $7$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 9.2

Проверим значение на интервале $\frac{2 - \sqrt{22}}{3} < x < \frac{2 + \sqrt{22}}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Выберем значение на интервале $\frac{2 - \sqrt{22}}{3} < x < \frac{2 + \sqrt{22}}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 9.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$(3 (0) - 1) ((0) - 1) < 7$

Этап 9.2.3

Левая часть $1$ меньше правой части $7$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 9.3

Проверим значение на интервале $x > \frac{2 + \sqrt{22}}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{2 + \sqrt{22}}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 5$

Этап 9.3.2

Заменим $x$ на $5$ в исходном неравенстве.

$(3 (5) - 1) ((5) - 1) < 7$

Этап 9.3.3

Левая часть $56$ не меньше правой части $7$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 9.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < \frac{2 - \sqrt{22}}{3}$ Ложь

$\frac{2 - \sqrt{22}}{3} < x < \frac{2 + \sqrt{22}}{3}$ Истина

$x > \frac{2 + \sqrt{22}}{3}$ Ложь

$x < \frac{2 - \sqrt{22}}{3}$ Ложь

$\frac{2 - \sqrt{22}}{3} < x < \frac{2 + \sqrt{22}}{3}$ Истина

$x > \frac{2 + \sqrt{22}}{3}$ Ложь

Этап 10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$\frac{2 - \sqrt{22}}{3} < x < \frac{2 + \sqrt{22}}{3}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$\frac{2 - \sqrt{22}}{3} < x < \frac{2 + \sqrt{22}}{3}$

Интервальное представление:

$(\frac{2 - \sqrt{22}}{3}, \frac{2 + \sqrt{22}}{3})$

Этап 12