Тригонометрия Примеры

$(2 \cos (x) - 3 \sin^{2} (x)) = 13$

Этап 1

Вычтем $13$ из обеих частей уравнения.

$2 \cos (x) - 3 \sin^{2} (x) - 13 = 0$

Этап 2

Заменим $- 3 \sin^{2} (x)$ на $- 3 (1 - \cos^{2} (x))$ на основе тождества $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$2 \cos (x) - 3 (1 - \cos^{2} (x)) - 13 = 0$

Этап 3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \cos (x) - 3 \cdot 1 - 3 (- \cos^{2} (x)) - 13 = 0$

Этап 3.2

Умножим $- 3$ на $1$ .

$2 \cos (x) - 3 - 3 (- \cos^{2} (x)) - 13 = 0$

Этап 3.3

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$2 \cos (x) - 3 + 3 \cos^{2} (x) - 13 = 0$

Этап 4

Вычтем $13$ из $- 3$ .

$2 \cos (x) + 3 \cos^{2} (x) - 16 = 0$

Этап 5

Упорядочим многочлен.

$3 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 16 = 0$

Этап 6

Подставим $u$ вместо $\cos (x)$ .

$3 {(u)}^{2} + 2 (u) - 16 = 0$

Этап 7

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 16 = - 48$ , а сумма — $b = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 u$ .

$3 u^{2} + 2 u - 16 = 0$

Этап 7.1.2

Запишем $2$ как $- 6$ плюс $8$

$3 u^{2} + (- 6 + 8) u - 16 = 0$

Этап 7.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 u^{2} - 6 u + 8 u - 16 = 0$

Этап 7.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$3 u^{2} - 6 u + 8 u - 16 = 0$

Этап 7.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$3 u (u - 2) + 8 (u - 2) = 0$

Этап 7.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $u - 2$ .

$(u - 2) (3 u + 8) = 0$

Этап 8

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u - 2 = 0$

$3 u + 8 = 0$

Этап 9

Приравняем $u - 2$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Приравняем $u - 2$ к $0$ .

$u - 2 = 0$

Этап 9.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$u = 2$

Этап 10

Приравняем $3 u + 8$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Приравняем $3 u + 8$ к $0$ .

$3 u + 8 = 0$

Этап 10.2

Решим $3 u + 8 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$3 u = - 8$

Этап 10.2.2

Разделим каждый член $3 u = - 8$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Разделим каждый член $3 u = - 8$ на $3$ .

$\frac{3 u}{3} = \frac{- 8}{3}$

Этап 10.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 u}{3} = \frac{- 8}{3}$

Этап 10.2.2.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{- 8}{3}$

Этап 10.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$u = - \frac{8}{3}$

Этап 11

Окончательным решением являются все значения, при которых $(u - 2) (3 u + 8) = 0$ верно.

$u = 2, - \frac{8}{3}$

Этап 12

Подставим $\cos (x)$ вместо $u$ .

$\cos (x) = 2, - \frac{8}{3}$

Этап 13

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\cos (x) = 2$

$\cos (x) = - \frac{8}{3}$

Этап 14

Решим относительно $x$ в $\cos (x) = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Множество значений косинуса: $- 1 \leq y \leq 1$ . Поскольку $2$ не попадает в это множество, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 15

Решим относительно $x$ в $\cos (x) = - \frac{8}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Множество значений косинуса: $- 1 \leq y \leq 1$ . Поскольку $- \frac{8}{3}$ не попадает в это множество, решение отсутствует.

Нет решения