Тригонометрия Примеры

$y = \tan (- \frac{3}{4} x)$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \tan (- \frac{3}{4} y)$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\tan (- \frac{3}{4} y) = x$ .

$\tan (- \frac{3}{4} y) = x$

Этап 2.2

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из тангенса.

$- \frac{3}{4} y = \arctan (x)$

Этап 2.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $- \frac{3}{4} y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Объединим $y$ и $\frac{3}{4}$ .

$- \frac{y \cdot 3}{4} = \arctan (x)$

Этап 2.3.1.2

Перенесем $3$ влево от $y$ .

$- \frac{3 y}{4} = \arctan (x)$

Этап 2.4

Умножим обе части уравнения на $- \frac{4}{3}$ .

$- \frac{4}{3} (- \frac{3 y}{4}) = - \frac{4}{3} \arctan (x)$

Этап 2.5

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Упростим $- \frac{4}{3} (- \frac{3 y}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{4}{3}$ в числитель.

$\frac{- 4}{3} (- \frac{3 y}{4}) = - \frac{4}{3} \arctan (x)$

Этап 2.5.1.1.1.2

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3 y}{4}$ в числитель.

$\frac{- 4}{3} \cdot \frac{- 3 y}{4} = - \frac{4}{3} \arctan (x)$

Этап 2.5.1.1.1.3

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$\frac{4 (- 1)}{3} \cdot \frac{- 3 y}{4} = - \frac{4}{3} \arctan (x)$

Этап 2.5.1.1.1.4

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{- 3 y}{4} = - \frac{4}{3} \arctan (x)$

Этап 2.5.1.1.1.5

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{3} (- 3 y) = - \frac{4}{3} \arctan (x)$

Этап 2.5.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 y$ .

$\frac{- 1}{3} (3 (- y)) = - \frac{4}{3} \arctan (x)$

Этап 2.5.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{3} (3 (- y)) = - \frac{4}{3} \arctan (x)$

Этап 2.5.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$- - y = - \frac{4}{3} \arctan (x)$

Этап 2.5.1.1.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 y = - \frac{4}{3} \arctan (x)$

Этап 2.5.1.1.3.2

Умножим $y$ на $1$ .

$y = - \frac{4}{3} \arctan (x)$

Этап 2.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Упростим $- \frac{4}{3} \arctan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1

Объединим $\arctan (x)$ и $\frac{4}{3}$ .

$y = - \frac{\arctan (x) \cdot 4}{3}$

Этап 2.5.2.1.2

Перенесем $4$ влево от $\arctan (x)$ .

$y = - \frac{4 \arctan (x)}{3}$

Этап 3

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = - \frac{4 \arctan (x)}{3}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = - \frac{4 \arctan (x)}{3}$ обратной к $f (x) = \tan (- \frac{3}{4} x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\tan (- \frac{3}{4} x))$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\tan (- \frac{3}{4} x)) = - \frac{4 \arctan (\tan (- \frac{3}{4} x))}{3}$

Этап 4.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Объединим $x$ и $\frac{3}{4}$ .

$f^{- 1} (\tan (- \frac{3}{4} x)) = - \frac{4 \arctan (\tan (- \frac{x \cdot 3}{4}))}{3}$

Этап 4.2.3.2

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$f^{- 1} (\tan (- \frac{3}{4} x)) = - \frac{4 \arctan (\tan (- \frac{3 \cdot x}{4}))}{3}$

Этап 4.2.3.3

Так как $\tan (- \frac{3 x}{4})$ — нечетная функция, перепишем $\tan (- \frac{3 x}{4})$ в виде $- \tan (\frac{3 x}{4})$ .

$f^{- 1} (\tan (- \frac{3}{4} x)) = - \frac{4 \arctan (- \tan (\frac{3 x}{4}))}{3}$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (- \frac{4 \arctan (x)}{3})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (- \frac{4 \arctan (x)}{3}) = \tan (- \frac{3}{4} \cdot (- \frac{4 \arctan (x)}{3}))$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3}{4}$ в числитель.

$f (- \frac{4 \arctan (x)}{3}) = \tan (\frac{- 3}{4} \cdot (- \frac{4 \arctan (x)}{3}))$

Этап 4.3.3.2

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{4 \arctan (x)}{3}$ в числитель.

$f (- \frac{4 \arctan (x)}{3}) = \tan (\frac{- 3}{4} \cdot \frac{- 4 \arctan (x)}{3})$

Этап 4.3.3.3

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$f (- \frac{4 \arctan (x)}{3}) = \tan (\frac{3 (- 1)}{4} \cdot \frac{- 4 \arctan (x)}{3})$

Этап 4.3.3.4

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{4 \arctan (x)}{3}) = \tan (\frac{3 \cdot - 1}{4} \cdot \frac{- 4 \arctan (x)}{3})$

Этап 4.3.3.5

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{4 \arctan (x)}{3}) = \tan (\frac{- 1}{4} \cdot (- 4 \arctan (x)))$

Этап 4.3.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 \arctan (x)$ .

$f (- \frac{4 \arctan (x)}{3}) = \tan (\frac{- 1}{4} \cdot (4 (- \arctan (x))))$

Этап 4.3.4.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{4 \arctan (x)}{3}) = \tan (\frac{- 1}{4} \cdot (4 (- \arctan (x))))$

Этап 4.3.4.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{4 \arctan (x)}{3}) = \tan (- 1 \cdot (- \arctan (x)))$

Этап 4.3.5

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- \frac{4 \arctan (x)}{3}) = \tan (1 \cdot \arctan (x))$

Этап 4.3.5.2

Умножим $\arctan (x)$ на $1$ .

$f (- \frac{4 \arctan (x)}{3}) = \tan (\arctan (x))$

Этап 4.3.6

Тангенс и арктангенс — обратные функции.

$f (- \frac{4 \arctan (x)}{3}) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = - \frac{4 \arctan (x)}{3}$ — обратная к $f (x) = \tan (- \frac{3}{4} x)$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{4 \arctan (x)}{3}$