Тригонометрия Примеры

$\sin (a) \cos (a) = - \frac{1}{2}$

Этап 1

Каждый член в $\sin (a) \cos (a) = - \frac{1}{2}$ умножим на $2$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим каждый член $\sin (a) \cos (a) = - \frac{1}{2}$ на $2$ .

$\sin (a) \cos (a) \cdot 2 = - \frac{1}{2} \cdot 2$

Этап 1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Изменим порядок $\sin (a) \cos (a)$ и $2$ .

$2 \cdot (\sin (a) \cos (a)) = - \frac{1}{2} \cdot 2$

Этап 1.2.2

Применим формулу двойного угла для синуса.

$\sin (2 a) = - \frac{1}{2} \cdot 2$

Этап 1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$\sin (2 a) = \frac{- 1}{2} \cdot 2$

Этап 1.3.1.2

Сократим общий множитель.

$\sin (2 a) = \frac{- 1}{2} \cdot 2$

Этап 1.3.1.3

Перепишем это выражение.

$\sin (2 a) = - 1$

Этап 2

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $a$ из синуса.

$2 a = \arcsin (- 1)$

Этап 3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Точное значение $\arcsin (- 1)$ : $- \frac{π}{2}$ .

$2 a = - \frac{π}{2}$

Этап 4

Разделим каждый член $2 a = - \frac{π}{2}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $2 a = - \frac{π}{2}$ на $2$ .

$\frac{2 a}{2} = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 a}{2} = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $a$ на $1$ .

$a = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$a = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 4.3.2

Умножим $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{π}{2}$ .

$a = - \frac{π}{2 \cdot 2}$

Этап 4.3.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$a = - \frac{π}{4}$

Этап 5

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$2 a = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Этап 6

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$2 a = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Этап 6.2

Результирующий угол $\frac{3 π}{2}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{2} + π$ на полный оборот.

$2 a = \frac{3 π}{2}$

Этап 6.3

Разделим каждый член $2 a = \frac{3 π}{2}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Разделим каждый член $2 a = \frac{3 π}{2}$ на $2$ .

$\frac{2 a}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Этап 6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 a}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Этап 6.3.2.1.2

Разделим $a$ на $1$ .

$a = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Этап 6.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$a = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 6.3.3.2

Умножим $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.1

Умножим $\frac{3 π}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$a = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Этап 6.3.3.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$a = \frac{3 π}{4}$

Этап 7

Найдем период $\sin (2 a)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 7.2

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Этап 7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Этап 7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2}$

Этап 7.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 8

Добавим $π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Добавим $π$ к $- \frac{π}{4}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{4} + π$

Этап 8.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 8.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 8.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 8.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Этап 8.4.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Этап 8.5

Перечислим новые углы.

$a = \frac{3 π}{4}$

Этап 9

Период функции $\sin (2 a)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$a = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 10

Объединим ответы.

$a = \frac{3 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$