Тригонометрия Примеры

$\log (\frac{50 x}{x + 2}) < 2$

Этап 1

Преобразуем неравенство в равенство.

$\log (\frac{50 x}{x + 2}) = 2$

Этап 2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $\log (\frac{50 x}{x + 2}) = 2$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ являются положительными вещественными числами и $b$ $\neq$ $1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$10^{2} = \frac{50 x}{x + 2}$

Этап 2.2

С помощью перекрестного умножения избавимся от дроби.

$50 x = 10^{2} (x + 2)$

Этап 2.3

Упростим $10^{2} (x + 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Возведем $10$ в степень $2$ .

$50 x = 100 (x + 2)$

Этап 2.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$50 x = 100 x + 100 \cdot 2$

Этап 2.3.3

Умножим $100$ на $2$ .

$50 x = 100 x + 200$

Этап 2.4

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Вычтем $100 x$ из обеих частей уравнения.

$50 x - 100 x = 200$

Этап 2.4.2

Вычтем $100 x$ из $50 x$ .

$- 50 x = 200$

Этап 2.5

Разделим каждый член $- 50 x = 200$ на $- 50$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Разделим каждый член $- 50 x = 200$ на $- 50$ .

$\frac{- 50 x}{- 50} = \frac{200}{- 50}$

Этап 2.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Сократим общий множитель $- 50$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 50 x}{- 50} = \frac{200}{- 50}$

Этап 2.5.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{200}{- 50}$

Этап 2.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Разделим $200$ на $- 50$ .

$x = - 4$

Этап 3

Найдем область определения $\log (\frac{50 x}{x + 2}) - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим аргумент в $\log (\frac{50 x}{x + 2})$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$\frac{50 x}{x + 2} > 0$

Этап 3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$50 x = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 3.2.2

Разделим каждый член $50 x = 0$ на $50$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Разделим каждый член $50 x = 0$ на $50$ .

$\frac{50 x}{50} = \frac{0}{50}$

Этап 3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $50$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{50 x}{50} = \frac{0}{50}$

Этап 3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{50}$

Этап 3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.3.1

Разделим $0$ на $50$ .

$x = 0$

Этап 3.2.3

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 3.2.4

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 0$

$x = - 2$

Этап 3.2.5

Объединим решения.

$x = 0, - 2$

Этап 3.2.6

Найдем область определения $\frac{50 x}{x + 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Зададим знаменатель в $\frac{50 x}{x + 2}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x + 2 = 0$

Этап 3.2.6.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 3.2.6.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Этап 3.2.7

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$x > 0$

Этап 3.2.8

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.1

Проверим значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 3.2.8.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$\frac{50 (- 4)}{(- 4) + 2} > 0$

Этап 3.2.8.1.3

Левая часть $100$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 3.2.8.2

Проверим значение на интервале $- 2 < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.2.1

Выберем значение на интервале $- 2 < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 1$

Этап 3.2.8.2.2

Заменим $x$ на $- 1$ в исходном неравенстве.

$\frac{50 (- 1)}{(- 1) + 2} > 0$

Этап 3.2.8.2.3

Левая часть $- 50$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 3.2.8.3

Проверим значение на интервале $x > 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.3.1

Выберем значение на интервале $x > 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 3.2.8.3.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$\frac{50 (2)}{(2) + 2} > 0$

Этап 3.2.8.3.3

Левая часть $25$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 3.2.8.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 2$ Истина

$- 2 < x < 0$ Ложь

$x > 0$ Истина

$x < - 2$ Истина

$- 2 < x < 0$ Ложь

$x > 0$ Истина

Этап 3.2.9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - 2$ или $x > 0$

Этап 3.3

Зададим знаменатель в $\frac{50 x}{x + 2}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x + 2 = 0$

Этап 3.4

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 3.5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 2) \cup (0, \infty)$

Этап 4

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 4$

$- 4 < x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$x > 0$

Этап 5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Проверим значение на интервале $x < - 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 5.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$\log (\frac{50 (- 6)}{(- 6) + 2}) < 2$

Этап 5.1.3

Левая часть $1.87506126$ меньше правой части $2$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 5.2

Проверим значение на интервале $- 4 < x < - 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Выберем значение на интервале $- 4 < x < - 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 3$

Этап 5.2.2

Заменим $x$ на $- 3$ в исходном неравенстве.

$\log (\frac{50 (- 3)}{(- 3) + 2}) < 2$

Этап 5.2.3

Левая часть $2.17609125$ не меньше правой части $2$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 5.3

Проверим значение на интервале $- 2 < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Выберем значение на интервале $- 2 < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 1$

Этап 5.3.2

Заменим $x$ на $- 1$ в исходном неравенстве.

$\log (\frac{50 (- 1)}{(- 1) + 2}) < 2$

Этап 5.3.3

Определим, является ли истинным это неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Уравнение невозможно решить, потому что оно не определено.

$Неопределенные$

Этап 5.3.3.2

Левая часть не имеет решения. Это означает, что данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 5.4

Проверим значение на интервале $x > 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Выберем значение на интервале $x > 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 5.4.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$\log (\frac{50 (2)}{(2) + 2}) < 2$

Этап 5.4.3

Левая часть $1.39794$ меньше правой части $2$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 5.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 4$ Истина

$- 4 < x < - 2$ Ложь

$- 2 < x < 0$ Ложь

$x > 0$ Истина

$x < - 4$ Истина

$- 4 < x < - 2$ Ложь

$- 2 < x < 0$ Ложь

$x > 0$ Истина

Этап 6

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - 4$ или $x > 0$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x < - 4 or x > 0$

Интервальное представление:

$(- \infty, - 4) \cup (0, \infty)$

Этап 8