Тригонометрия Примеры

$\frac{(x - 1) (3 - x)}{{(x - 2)}^{2}} > 0$

Этап 1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x - 1 = 0$

$3 - x = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Этап 2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 3

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 3$

Этап 4

Разделим каждый член $- x = - 3$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $- x = - 3$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Этап 4.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим $- 3$ на $- 1$ .

$x = 3$

Этап 5

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 6

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 7

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 1$

$x = 3$

$x = 2$

Этап 8

Объединим решения.

$x = 1, 3, 2$

Этап 9

Найдем область определения $\frac{(x - 1) (3 - x)}{{(x - 2)}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Зададим знаменатель в $\frac{(x - 1) (3 - x)}{{(x - 2)}^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(x - 2)}^{2} = 0$

Этап 9.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 9.2.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 9.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Этап 10

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 1$

$1 < x < 2$

$2 < x < 3$

$x > 3$

Этап 11

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Проверим значение на интервале $x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Выберем значение на интервале $x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 11.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{((0) - 1) (3 - (0))}{{((0) - 2)}^{2}} > 0$

Этап 11.1.3

Левая часть $- 0.75$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 11.2

Проверим значение на интервале $1 < x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Выберем значение на интервале $1 < x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1.5$

Этап 11.2.2

Заменим $x$ на $1.5$ в исходном неравенстве.

$\frac{((1.5) - 1) (3 - (1.5))}{{((1.5) - 2)}^{2}} > 0$

Этап 11.2.3

Левая часть $3$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 11.3

Проверим значение на интервале $2 < x < 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Выберем значение на интервале $2 < x < 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2.5$

Этап 11.3.2

Заменим $x$ на $2.5$ в исходном неравенстве.

$\frac{((2.5) - 1) (3 - (2.5))}{{((2.5) - 2)}^{2}} > 0$

Этап 11.3.3

Левая часть $3$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 11.4

Проверим значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Выберем значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 11.4.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$\frac{((6) - 1) (3 - (6))}{{((6) - 2)}^{2}} > 0$

Этап 11.4.3

Левая часть $- 0.9375$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 11.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 1$ Ложь

$1 < x < 2$ Истина

$2 < x < 3$ Истина

$x > 3$ Ложь

$x < 1$ Ложь

$1 < x < 2$ Истина

$2 < x < 3$ Истина

$x > 3$ Ложь

Этап 12

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$1 < x < 2$ или $2 < x < 3$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$1 < x < 2 or 2 < x < 3$

Интервальное представление:

$(1, 2) \cup (2, 3)$

Этап 14