Тригонометрия Примеры

$(\sin (x)) (\cos (x)) > 0$

Этап 1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sin (x) = 0$

$\cos (x) = 0$

Этап 2

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ .

$\sin (x) = 0$

Этап 2.2

Решим $\sin (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (0)$

Этап 2.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 2.2.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - 0$

Этап 2.2.4

Вычтем $0$ из $π$ .

$x = π$

Этап 2.2.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 2.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 2.2.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 2.2.6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 3

Приравняем $\cos (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $\cos (x)$ к $0$ .

$\cos (x) = 0$

Этап 3.2

Решим $\cos (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (0)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 3.2.3

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 3.2.4

Упростим $2 π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 3.2.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 3.2.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 3.2.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 3.2.4.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 3.2.5

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 3.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 3.2.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 3.2.6

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Окончательным решением являются все значения, при которых $\sin (x) \cos (x) > 0$ верно.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Объединим ответы.

$x = \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$

Этап 6

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$0 < x < \frac{π}{2}$

$\frac{π}{2} < x < π$

$π < x < \frac{3 π}{2}$

$\frac{3 π}{2} < x < 2 π$

Этап 7

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Проверим значение на интервале $0 < x < \frac{π}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Выберем значение на интервале $0 < x < \frac{π}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1$

Этап 7.1.2

Заменим $x$ на $1$ в исходном неравенстве.

$(\sin (1)) (\cos (1)) > 0$

Этап 7.1.3

Левая часть $0.45464871$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 7.2

Проверим значение на интервале $\frac{π}{2} < x < π$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Выберем значение на интервале $\frac{π}{2} < x < π$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 7.2.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$(\sin (2)) (\cos (2)) > 0$

Этап 7.2.3

Левая часть $- 0.37840124$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 7.3

Проверим значение на интервале $π < x < \frac{3 π}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Выберем значение на интервале $π < x < \frac{3 π}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 7.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$(\sin (4)) (\cos (4)) > 0$

Этап 7.3.3

Левая часть $0.49467912$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 7.4

Проверим значение на интервале $\frac{3 π}{2} < x < 2 π$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Выберем значение на интервале $\frac{3 π}{2} < x < 2 π$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 5$

Этап 7.4.2

Заменим $x$ на $5$ в исходном неравенстве.

$(\sin (5)) (\cos (5)) > 0$

Этап 7.4.3

Левая часть $- 0.27201055$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 7.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$0 < x < \frac{π}{2}$ Истина

$\frac{π}{2} < x < π$ Ложь

$π < x < \frac{3 π}{2}$ Истина

$\frac{3 π}{2} < x < 2 π$ Ложь

$0 < x < \frac{π}{2}$ Истина

$\frac{π}{2} < x < π$ Ложь

$π < x < \frac{3 π}{2}$ Истина

$\frac{3 π}{2} < x < 2 π$ Ложь

Этап 8

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$0 + 2 π n < x < \frac{π}{2} + 2 π n$ или $π + 2 π n < x < \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого числа $n$

Этап 9

Объединим интервалы.

$2 π n < x < \frac{π}{2} + 2 π n or π + 2 π n < x < \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 10