Тригонометрия Примеры

$- 16 x^{2} + 32 x - 12 > 0$

Этап 1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$- 16 x^{2} + 32 x - 12 = 0$

Этап 2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $- 4$ из $- 16 x^{2} + 32 x - 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из $- 16 x^{2}$ .

$- 4 (4 x^{2}) + 32 x - 12 = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $- 4$ из $32 x$ .

$- 4 (4 x^{2}) - 4 (- 8 x) - 12 = 0$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $- 4$ из $- 12$ .

$- 4 (4 x^{2}) - 4 (- 8 x) - 4 \cdot 3 = 0$

Этап 2.1.4

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 (4 x^{2}) - 4 (- 8 x)$ .

$- 4 (4 x^{2} - 8 x) - 4 \cdot 3 = 0$

Этап 2.1.5

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 (4 x^{2} - 8 x) - 4 (3)$ .

$- 4 (4 x^{2} - 8 x + 3) = 0$

Этап 2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot 3 = 12$ , а сумма — $b = - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Вынесем множитель $- 8$ из $- 8 x$ .

$- 4 (4 x^{2} - 8 x + 3) = 0$

Этап 2.2.1.1.2

Запишем $- 8$ как $- 2$ плюс $- 6$

$- 4 (4 x^{2} + (- 2 - 6) x + 3) = 0$

Этап 2.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 (4 x^{2} - 2 x - 6 x + 3) = 0$

Этап 2.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- 4 ((4 x^{2} - 2 x) - 6 x + 3) = 0$

Этап 2.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$- 4 (2 x (2 x - 1) - 3 (2 x - 1)) = 0$

Этап 2.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x - 1$ .

$- 4 ((2 x - 1) (2 x - 3)) = 0$

Этап 2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- 4 (2 x - 1) (2 x - 3) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$2 x - 3 = 0$

Этап 4

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Этап 4.2

Решим $2 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 1$

Этап 4.2.2

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Этап 5

Приравняем $2 x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $2 x - 3$ к $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Этап 5.2

Решим $2 x - 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 3$

Этап 5.2.2

Разделим каждый член $2 x = 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 3$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Этап 5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Этап 5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 4 (2 x - 1) (2 x - 3) = 0$ верно.

$x = \frac{1}{2}, \frac{3}{2}$

Этап 7

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < \frac{3}{2}$

$x > \frac{3}{2}$

Этап 8

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Проверим значение на интервале $x < \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Выберем значение на интервале $x < \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 8.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$- 16 {(0)}^{2} + 32 (0) - 12 > 0$

Этап 8.1.3

Левая часть $- 12$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 8.2

Проверим значение на интервале $\frac{1}{2} < x < \frac{3}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Выберем значение на интервале $\frac{1}{2} < x < \frac{3}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1$

Этап 8.2.2

Заменим $x$ на $1$ в исходном неравенстве.

$- 16 {(1)}^{2} + 32 (1) - 12 > 0$

Этап 8.2.3

Левая часть $4$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 8.3

Проверим значение на интервале $x > \frac{3}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{3}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 8.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$- 16 {(4)}^{2} + 32 (4) - 12 > 0$

Этап 8.3.3

Левая часть $- 140$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 8.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < \frac{1}{2}$ Ложь

$\frac{1}{2} < x < \frac{3}{2}$ Истина

$x > \frac{3}{2}$ Ложь

$x < \frac{1}{2}$ Ложь

$\frac{1}{2} < x < \frac{3}{2}$ Истина

$x > \frac{3}{2}$ Ложь

Этап 9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$\frac{1}{2} < x < \frac{3}{2}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$\frac{1}{2} < x < \frac{3}{2}$

Интервальное представление:

$(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$

Этап 11