Тригонометрия Примеры

$x^{3} + 4 x^{2} - 45 x > 0$

Этап 1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{3} + 4 x^{2} - 45 x = 0$

Этап 2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} + 4 x^{2} - 45 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} + 4 x^{2} - 45 x = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $x$ из $4 x^{2}$ .

$x \cdot x^{2} + x (4 x) - 45 x = 0$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $x$ из $- 45 x$ .

$x \cdot x^{2} + x (4 x) + x \cdot - 45 = 0$

Этап 2.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x (4 x)$ .

$x (x^{2} + 4 x) + x \cdot - 45 = 0$

Этап 2.1.5

Вынесем множитель $x$ из $x (x^{2} + 4 x) + x \cdot - 45$ .

$x (x^{2} + 4 x - 45) = 0$

Этап 2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разложим $x^{2} + 4 x - 45$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 45$ , а сумма — $4$ .

$- 5, 9$

Этап 2.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$x ((x - 5) (x + 9)) = 0$

Этап 2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x (x - 5) (x + 9) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 5 = 0$

$x + 9 = 0$

Этап 4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 5

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 5.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 6

Приравняем $x + 9$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $x + 9$ к $0$ .

$x + 9 = 0$

Этап 6.2

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$x = - 9$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x - 5) (x + 9) = 0$ верно.

$x = 0, 5, - 9$

Этап 8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 9$

$- 9 < x < 0$

$0 < x < 5$

$x > 5$

Этап 9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Проверим значение на интервале $x < - 9$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 9$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 12$

Этап 9.1.2

Заменим $x$ на $- 12$ в исходном неравенстве.

${(- 12)}^{3} + 4 {(- 12)}^{2} - 45 \cdot - 12 > 0$

Этап 9.1.3

Левая часть $- 612$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 9.2

Проверим значение на интервале $- 9 < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Выберем значение на интервале $- 9 < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 9.2.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

${(- 4)}^{3} + 4 {(- 4)}^{2} - 45 \cdot - 4 > 0$

Этап 9.2.3

Левая часть $180$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 9.3

Проверим значение на интервале $0 < x < 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 9.3.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

${(2)}^{3} + 4 {(2)}^{2} - 45 \cdot 2 > 0$

Этап 9.3.3

Левая часть $- 66$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 9.4

Проверим значение на интервале $x > 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Выберем значение на интервале $x > 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 8$

Этап 9.4.2

Заменим $x$ на $8$ в исходном неравенстве.

${(8)}^{3} + 4 {(8)}^{2} - 45 \cdot 8 > 0$

Этап 9.4.3

Левая часть $408$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 9.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 9$ Ложь

$- 9 < x < 0$ Истина

$0 < x < 5$ Ложь

$x > 5$ Истина

$x < - 9$ Ложь

$- 9 < x < 0$ Истина

$0 < x < 5$ Ложь

$x > 5$ Истина

Этап 10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 9 < x < 0$ или $x > 5$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$- 9 < x < 0 or x > 5$

Интервальное представление:

$(- 9, 0) \cup (5, \infty)$

Этап 12