Тригонометрия Примеры

$x^{2} + 13 x + 40 < 0$

Этап 1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{2} + 13 x + 40 = 0$

Этап 2

Разложим $x^{2} + 13 x + 40$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $40$ , а сумма — $13$ .

$5, 8$

Этап 2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x + 5) (x + 8) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 5 = 0$

$x + 8 = 0$

Этап 4

Приравняем $x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $x + 5$ к $0$ .

$x + 5 = 0$

Этап 4.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 5

Приравняем $x + 8$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $x + 8$ к $0$ .

$x + 8 = 0$

Этап 5.2

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$x = - 8$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 5) (x + 8) = 0$ верно.

$x = - 5, - 8$

Этап 7

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 8$

$- 8 < x < - 5$

$x > - 5$

Этап 8

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Проверим значение на интервале $x < - 8$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 8$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 10$

Этап 8.1.2

Заменим $x$ на $- 10$ в исходном неравенстве.

${(- 10)}^{2} + 13 (- 10) + 40 < 0$

Этап 8.1.3

Левая часть $10$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 8.2

Проверим значение на интервале $- 8 < x < - 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Выберем значение на интервале $- 8 < x < - 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 8.2.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

${(- 6)}^{2} + 13 (- 6) + 40 < 0$

Этап 8.2.3

Левая часть $- 2$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 8.3

Проверим значение на интервале $x > - 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Выберем значение на интервале $x > - 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 8.3.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

${(0)}^{2} + 13 (0) + 40 < 0$

Этап 8.3.3

Левая часть $40$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 8.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 8$ Ложь

$- 8 < x < - 5$ Истина

$x > - 5$ Ложь

$x < - 8$ Ложь

$- 8 < x < - 5$ Истина

$x > - 5$ Ложь

Этап 9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 8 < x < - 5$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$- 8 < x < - 5$

Интервальное представление:

$(- 8, - 5)$

Этап 11