Тригонометрия Примеры

$\log_{2} (x + 1) < \log_{2} (6 - 2 x)$

Этап 1

Преобразуем неравенство в равенство.

$\log_{2} (x + 1) = \log_{2} (6 - 2 x)$

Этап 2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$x + 1 = 6 - 2 x$

Этап 2.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Добавим $2 x$ к обеим частям уравнения.

$x + 1 + 2 x = 6$

Этап 2.2.1.2

Добавим $x$ и $2 x$ .

$3 x + 1 = 6$

Этап 2.2.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$3 x = 6 - 1$

Этап 2.2.2.2

Вычтем $1$ из $6$ .

$3 x = 5$

Этап 2.2.3

Разделим каждый член $3 x = 5$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Разделим каждый член $3 x = 5$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

Этап 2.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

Этап 2.2.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{5}{3}$

Этап 3

Найдем область определения $\log_{2} (\frac{x + 1}{2 (3 - x)})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим аргумент в $\log_{2} (\frac{x + 1}{2 (3 - x)})$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$\frac{x + 1}{2 (3 - x)} > 0$

Этап 3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x + 1 = 0$

$3 - x = 0$

Этап 3.2.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 3.2.3

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 3$

Этап 3.2.4

Разделим каждый член $- x = - 3$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Разделим каждый член $- x = - 3$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Этап 3.2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Этап 3.2.4.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Этап 3.2.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.3.1

Разделим $- 3$ на $- 1$ .

$x = 3$

Этап 3.2.5

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = - 1$

$x = 3$

Этап 3.2.6

Объединим решения.

$x = - 1, 3$

Этап 3.2.7

Найдем область определения $\frac{x + 1}{2 (3 - x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.1

Зададим знаменатель в $\frac{x + 1}{2 (3 - x)}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$2 (3 - x) = 0$

Этап 3.2.7.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.2.1

Разделим каждый член $2 (3 - x) = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.2.1.1

Разделим каждый член $2 (3 - x) = 0$ на $2$ .

$\frac{2 (3 - x)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 3.2.7.2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.2.1.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.2.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (3 - x)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 3.2.7.2.1.2.1.2

Разделим $3 - x$ на $1$ .

$3 - x = \frac{0}{2}$

Этап 3.2.7.2.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.2.1.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$3 - x = 0$

Этап 3.2.7.2.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 3$

Этап 3.2.7.2.3

Разделим каждый член $- x = - 3$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.2.3.1

Разделим каждый член $- x = - 3$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Этап 3.2.7.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.2.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Этап 3.2.7.2.3.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Этап 3.2.7.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.2.3.3.1

Разделим $- 3$ на $- 1$ .

$x = 3$

Этап 3.2.7.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

Этап 3.2.8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 1$

$- 1 < x < 3$

$x > 3$

Этап 3.2.9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.9.1

Проверим значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.9.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 3.2.9.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$\frac{(- 4) + 1}{2 (3 - (- 4))} > 0$

Этап 3.2.9.1.3

Левая часть $- 0.2\overline{142857}$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 3.2.9.2

Проверим значение на интервале $- 1 < x < 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.9.2.1

Выберем значение на интервале $- 1 < x < 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 3.2.9.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{(0) + 1}{2 (3 - (0))} > 0$

Этап 3.2.9.2.3

Левая часть $0.1\overline{6}$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 3.2.9.3

Проверим значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.9.3.1

Выберем значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 3.2.9.3.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$\frac{(6) + 1}{2 (3 - (6))} > 0$

Этап 3.2.9.3.3

Левая часть $- 1.1\overline{6}$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 3.2.9.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 1$ Ложь

$- 1 < x < 3$ Истина

$x > 3$ Ложь

$x < - 1$ Ложь

$- 1 < x < 3$ Истина

$x > 3$ Ложь

Этап 3.2.10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 1 < x < 3$

Этап 3.3

Зададим знаменатель в $\frac{x + 1}{2 (3 - x)}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$2 (3 - x) = 0$

Этап 3.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Разделим каждый член $2 (3 - x) = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Разделим каждый член $2 (3 - x) = 0$ на $2$ .

$\frac{2 (3 - x)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 3.4.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (3 - x)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 3.4.1.2.1.2

Разделим $3 - x$ на $1$ .

$3 - x = \frac{0}{2}$

Этап 3.4.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$3 - x = 0$

Этап 3.4.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 3$

Этап 3.4.3

Разделим каждый член $- x = - 3$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Разделим каждый член $- x = - 3$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Этап 3.4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Этап 3.4.3.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Этап 3.4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.3.1

Разделим $- 3$ на $- 1$ .

$x = 3$

Этап 3.5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- 1, 3)$

Этап 4

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 1$

$- 1 < x < \frac{5}{3}$

$\frac{5}{3} < x < 3$

$x > 3$

Этап 5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Проверим значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 5.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$\log_{2} ((- 4) + 1) < \log_{2} (6 - 2 \cdot - 4)$

Этап 5.1.3

Определим, является ли истинным это неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Уравнение невозможно решить, потому что оно не определено.

$Неопределенные$

Этап 5.1.3.2

Левая часть не имеет решения. Это означает, что данное утверждение ложно.

False

Этап 5.2

Проверим значение на интервале $- 1 < x < \frac{5}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Выберем значение на интервале $- 1 < x < \frac{5}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 5.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\log_{2} ((0) + 1) < \log_{2} (6 - 2 \cdot 0)$

Этап 5.2.3

Левая часть $0$ меньше правой части $2.5849625$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 5.3

Проверим значение на интервале $\frac{5}{3} < x < 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Выберем значение на интервале $\frac{5}{3} < x < 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 5.3.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$\log_{2} ((2) + 1) < \log_{2} (6 - 2 \cdot 2)$

Этап 5.3.3

Левая часть $1.5849625$ не меньше правой части $1$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 5.4

Проверим значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Выберем значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 5.4.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$\log_{2} ((6) + 1) < \log_{2} (6 - 2 \cdot 6)$

Этап 5.4.3

Определим, является ли истинным это неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Уравнение невозможно решить, потому что оно не определено.

$Неопределенные$

Этап 5.4.3.2

The right side has no solution, which means that the given statement is false.

False

Этап 5.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 1$ Ложь

$- 1 < x < \frac{5}{3}$ Истина

$\frac{5}{3} < x < 3$ Ложь

$x > 3$ Ложь

$x < - 1$ Ложь

$- 1 < x < \frac{5}{3}$ Истина

$\frac{5}{3} < x < 3$ Ложь

$x > 3$ Ложь

Этап 6

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 1 < x < \frac{5}{3}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$- 1 < x < \frac{5}{3}$

Интервальное представление:

$(- 1, \frac{5}{3})$

Этап 8