Тригонометрия Примеры

$\frac{4}{3 x} + \frac{7}{x} < \frac{5}{9}$

Этап 1

Упростим $\frac{4}{3 x} + \frac{7}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы записать $\frac{7}{x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3 x} + \frac{7}{x} \cdot \frac{3}{3} < \frac{5}{9}$

Этап 1.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $3 x$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Умножим $\frac{7}{x}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3 x} + \frac{7 \cdot 3}{x \cdot 3} < \frac{5}{9}$

Этап 1.2.2

Изменим порядок множителей в $x \cdot 3$ .

$\frac{4}{3 x} + \frac{7 \cdot 3}{3 x} < \frac{5}{9}$

Этап 1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 + 7 \cdot 3}{3 x} < \frac{5}{9}$

Этап 1.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Умножим $7$ на $3$ .

$\frac{4 + 21}{3 x} < \frac{5}{9}$

Этап 1.4.2

Добавим $4$ и $21$ .

$\frac{25}{3 x} < \frac{5}{9}$

Этап 2

Умножим обе части на $3 x$ .

$\frac{25}{3 x} (3 x) = \frac{5}{9} (3 x)$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Упростим $\frac{25}{3 x} (3 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 \frac{25}{3 x} x = \frac{5}{9} (3 x)$

Этап 3.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$3 \frac{25}{3 (x)} x = \frac{5}{9} (3 x)$

Этап 3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$3 \frac{25}{3 x} x = \frac{5}{9} (3 x)$

Этап 3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{25}{x} x = \frac{5}{9} (3 x)$

Этап 3.1.1.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{25}{x} x = \frac{5}{9} (3 x)$

Этап 3.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$25 = \frac{5}{9} (3 x)$

Этап 3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим $\frac{5}{9} (3 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$25 = \frac{5}{3 (3)} (3 x)$

Этап 3.2.1.1.2

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$25 = \frac{5}{3 (3)} (3 (x))$

Этап 3.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$25 = \frac{5}{3 \cdot 3} (3 x)$

Этап 3.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$25 = \frac{5}{3} x$

Этап 3.2.1.2

Объединим $\frac{5}{3}$ и $x$ .

$25 = \frac{5 x}{3}$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{5 x}{3} = 25$ .

$\frac{5 x}{3} = 25$

Этап 4.2

Умножим обе части уравнения на $\frac{3}{5}$ .

$\frac{3}{5} \cdot \frac{5 x}{3} = \frac{3}{5} \cdot 25$

Этап 4.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Упростим $\frac{3}{5} \cdot \frac{5 x}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{5} \cdot \frac{5 x}{3} = \frac{3}{5} \cdot 25$

Этап 4.3.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{5} (5 x) = \frac{3}{5} \cdot 25$

Этап 4.3.1.1.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x$ .

$\frac{1}{5} (5 (x)) = \frac{3}{5} \cdot 25$

Этап 4.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{5} (5 x) = \frac{3}{5} \cdot 25$

Этап 4.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{3}{5} \cdot 25$

Этап 4.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим $\frac{3}{5} \cdot 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1.1

Вынесем множитель $5$ из $25$ .

$x = \frac{3}{5} \cdot (5 (5))$

Этап 4.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{3}{5} \cdot (5 \cdot 5)$

Этап 4.3.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$x = 3 \cdot 5$

Этап 4.3.2.1.2

Умножим $3$ на $5$ .

$x = 15$

Этап 5

Найдем область определения $\frac{25}{3 x} - \frac{5}{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Зададим знаменатель в $\frac{25}{3 x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$3 x = 0$

Этап 5.2

Разделим каждый член $3 x = 0$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $3 x = 0$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 5.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{3}$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Разделим $0$ на $3$ .

$x = 0$

Этап 5.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 6

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 0$

$0 < x < 15$

$x > 15$

Этап 7

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Проверим значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Выберем значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 7.1.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$\frac{4}{3 (- 2)} + \frac{7}{- 2} < \frac{5}{9}$

Этап 7.1.3

Левая часть $- 4.1\overline{6}$ меньше правой части $0.\overline{5}$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 7.2

Проверим значение на интервале $0 < x < 15$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 15$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 7.2.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$\frac{4}{3 (2)} + \frac{7}{2} < \frac{5}{9}$

Этап 7.2.3

Левая часть $4.1\overline{6}$ не меньше правой части $0.\overline{5}$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 7.3

Проверим значение на интервале $x > 15$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Выберем значение на интервале $x > 15$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 18$

Этап 7.3.2

Заменим $x$ на $18$ в исходном неравенстве.

$\frac{4}{3 (18)} + \frac{7}{18} < \frac{5}{9}$

Этап 7.3.3

Левая часть $0.4\overline{629}$ меньше правой части $0.\overline{5}$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 7.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 0$ Истина

$0 < x < 15$ Ложь

$x > 15$ Истина

$x < 0$ Истина

$0 < x < 15$ Ложь

$x > 15$ Истина

Этап 8

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < 0$ или $x > 15$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x < 0 or x > 15$

Интервальное представление:

$(- \infty, 0) \cup (15, \infty)$

Этап 10