Тригонометрия Примеры

${(7 \sin (x))}^{2} - \frac{4 \sin (2 x)}{\cos (x)} = - 1$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Применим правило умножения к $7 \sin (x)$ .

$7^{2} \sin^{2} (x) - \frac{4 \sin (2 x)}{\cos (x)} = - 1$

Этап 1.1.2

Возведем $7$ в степень $2$ .

$49 \sin^{2} (x) - \frac{4 \sin (2 x)}{\cos (x)} = - 1$

Этап 1.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Применим формулу двойного угла для синуса.

$49 \sin^{2} (x) - \frac{4 \cdot 2 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} = - 1$

Этап 1.1.3.2

Умножим $4$ на $2$ .

$49 \sin^{2} (x) - \frac{8 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} = - 1$

Этап 1.1.4

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$49 \sin^{2} (x) - \frac{8 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} = - 1$

Этап 1.1.4.2

Разделим $8 \sin (x)$ на $1$ .

$49 \sin^{2} (x) - (8 \sin (x)) = - 1$

Этап 1.1.5

Умножим $8$ на $- 1$ .

$49 \sin^{2} (x) - 8 \sin (x) = - 1$

Этап 2

Подставим $u$ вместо $\sin (x)$ .

$49 {(u)}^{2} - 8 u = - 1$

Этап 3

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$49 u^{2} - 8 u + 1 = 0$

Этап 4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5

Подставим значения $a = 49$ , $b = - 8$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $u$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (49 \cdot 1)}}{2 \cdot 49}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 49 \cdot 1}}{2 \cdot 49}$

Этап 6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 49 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $49$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 196 \cdot 1}}{2 \cdot 49}$

Этап 6.1.2.2

Умножим $- 196$ на $1$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 196}}{2 \cdot 49}$

Этап 6.1.3

Вычтем $196$ из $64$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{- 132}}{2 \cdot 49}$

Этап 6.1.4

Перепишем $- 132$ в виде $- 1 (132)$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 132}}{2 \cdot 49}$

Этап 6.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (132)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{132}$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{132}}{2 \cdot 49}$

Этап 6.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$u = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{132}}{2 \cdot 49}$

Этап 6.1.7

Перепишем $132$ в виде $2^{2} \cdot 33$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $132$ .

$u = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{4 (33)}}{2 \cdot 49}$

Этап 6.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$u = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 33}}{2 \cdot 49}$

Этап 6.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$u = \frac{8 \pm i \cdot (2 \sqrt{33})}{2 \cdot 49}$

Этап 6.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$u = \frac{8 \pm 2 i \sqrt{33}}{2 \cdot 49}$

Этап 6.2

Умножим $2$ на $49$ .

$u = \frac{8 \pm 2 i \sqrt{33}}{98}$

Этап 6.3

Упростим $\frac{8 \pm 2 i \sqrt{33}}{98}$ .

$u = \frac{4 \pm i \sqrt{33}}{49}$

Этап 7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = \frac{4 + i \sqrt{33}}{49}, \frac{4 - i \sqrt{33}}{49}$

Этап 8

Подставим $\sin (x)$ вместо $u$ .

$\sin (x) = \frac{4 + i \sqrt{33}}{49}, \frac{4 - i \sqrt{33}}{49}$

Этап 9

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\sin (x) = \frac{4 + i \sqrt{33}}{49}$

$\sin (x) = \frac{4 - i \sqrt{33}}{49}$

Этап 10

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = \frac{4 + i \sqrt{33}}{49}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (\frac{4 + i \sqrt{33}}{49})$

Этап 10.2

Обратная функция синуса от $\arcsin (\frac{4 + i \sqrt{33}}{49})$ не определена.

Неопределенные

Этап 11

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = \frac{4 - i \sqrt{33}}{49}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (\frac{4 - i \sqrt{33}}{49})$

Этап 11.2

Обратная функция синуса от $\arcsin (\frac{4 - i \sqrt{33}}{49})$ не определена.

Неопределенные

Этап 12

Перечислим все решения.

Нет решения