Тригонометрия Примеры

$\frac{4 \sin (x)}{1 - \sin^{2} (x)} = \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)}$

Этап 1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{4 \sin (x)}{1^{2} - \sin^{2} (x)} = \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)}$

Этап 1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = \sin (x)$ .

$\frac{4 \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} = \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)), 1 - \sin (x), 1 + \sin (x)$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $1 + \sin (x)$ является само значение $1 + \sin (x)$ .

$(1 + \sin (x)) = 1 + \sin (x)$

$(1 + \sin (x))$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $1 - \sin (x)$ является само значение $1 - \sin (x)$ .

$(1 - \sin (x)) = 1 - \sin (x)$

$(1 - \sin (x))$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

Множителем $1 + \sin (x)$ является само значение $1 + \sin (x)$ .

$(1 + \sin (x)) = 1 + \sin (x)$

$(1 + \sin (x))$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

НОК $1 + \sin (x), 1 - \sin (x), 1 - \sin (x), 1 + \sin (x)$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$

Этап 3

Каждый член в $\frac{4 \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} = \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)}$ умножим на $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{4 \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} = \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)}$ на $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ .

$\frac{4 \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))) = \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))) + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

Этап 3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$4 \sin (x) = \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))) + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель $1 - \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Вынесем множитель $1 - \sin (x)$ из $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ .

$4 \sin (x) = \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} ((1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))) + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

Этап 3.3.1.1.2

Сократим общий множитель.

$4 \sin (x) = \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} ((1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))) + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

Этап 3.3.1.1.3

Перепишем это выражение.

$4 \sin (x) = (1 + \sin (x)) (1 + \sin (x)) + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

Этап 3.3.1.2

Возведем $1 + \sin (x)$ в степень $1$ .

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{1} (1 + \sin (x)) + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

Этап 3.3.1.3

Возведем $1 + \sin (x)$ в степень $1$ .

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{1} {(1 + \sin (x))}^{1} + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

Этап 3.3.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{1 + 1} + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

Этап 3.3.1.5

Добавим $1$ и $1$ .

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

Этап 3.3.1.6

Сократим общий множитель $1 + \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.6.1

Сократим общий множитель.

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

Этап 3.3.1.6.2

Перепишем это выражение.

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} + (\sin (x) - 1) (1 - \sin (x))$

Этап 3.3.1.7

Вынесем множитель $- 1$ из $\sin (x)$ .

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} + (- 1 (- \sin (x)) - 1) (1 - \sin (x))$

Этап 3.3.1.8

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} + (- 1 (- \sin (x)) - 1 (1)) (1 - \sin (x))$

Этап 3.3.1.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- \sin (x)) - 1 (1)$ .

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} - 1 (- \sin (x) + 1) (1 - \sin (x))$

Этап 3.3.1.10

Изменим порядок членов.

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} - 1 (- \sin (x) + 1) (- \sin (x) + 1)$

Этап 3.3.1.11

Возведем $- \sin (x) + 1$ в степень $1$ .

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} - 1 ({(- \sin (x) + 1)}^{1} (- \sin (x) + 1))$

Этап 3.3.1.12

Возведем $- \sin (x) + 1$ в степень $1$ .

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} - 1 ({(- \sin (x) + 1)}^{1} {(- \sin (x) + 1)}^{1})$

Этап 3.3.1.13

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} - 1 {(- \sin (x) + 1)}^{1 + 1}$

Этап 3.3.1.14

Добавим $1$ и $1$ .

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} - 1 {(- \sin (x) + 1)}^{2}$

Этап 3.3.1.15

Перепишем $- 1 {(- \sin (x) + 1)}^{2}$ в виде $- {(- \sin (x) + 1)}^{2}$ .

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} - {(- \sin (x) + 1)}^{2}$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $\sin (x)$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

${(1 + \sin (x))}^{2} - {(- \sin (x) + 1)}^{2} = 4 \sin (x)$

Этап 4.2

Перенесем все члены с $\sin (x)$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $4 \sin (x)$ из обеих частей уравнения.

${(1 + \sin (x))}^{2} - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

Этап 4.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Перепишем ${(1 + \sin (x))}^{2}$ в виде $(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))$ .

$(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x)) - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

Этап 4.2.2.2

Развернем $(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 (1 + \sin (x)) + \sin (x) (1 + \sin (x)) - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

Этап 4.2.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) (1 + \sin (x)) - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

Этап 4.2.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x) - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

Этап 4.2.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.3.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x) - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

Этап 4.2.2.3.1.2

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$1 + \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x) - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

Этап 4.2.2.3.1.3

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) \sin (x) - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

Этап 4.2.2.3.1.4

Умножим $\sin (x)$ на $\sin (x)$ .

$1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{2} (x) - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

Этап 4.2.2.3.2

Добавим $\sin (x)$ и $\sin (x)$ .

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

Этап 4.2.2.4

Перепишем ${(- \sin (x) + 1)}^{2}$ в виде $(- \sin (x) + 1) (- \sin (x) + 1)$ .

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - ((- \sin (x) + 1) (- \sin (x) + 1)) - 4 \sin (x) = 0$

Этап 4.2.2.5

Развернем $(- \sin (x) + 1) (- \sin (x) + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (- \sin (x) (- \sin (x) + 1) + 1 (- \sin (x) + 1)) - 4 \sin (x) = 0$

Этап 4.2.2.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (- \sin (x) (- \sin (x)) - \sin (x) \cdot 1 + 1 (- \sin (x) + 1)) - 4 \sin (x) = 0$

Этап 4.2.2.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (- \sin (x) (- \sin (x)) - \sin (x) \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + 1 \cdot 1) - 4 \sin (x) = 0$

Этап 4.2.2.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.6.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (- 1 \cdot - 1 \sin (x) \sin (x) - \sin (x) \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + 1 \cdot 1) - 4 \sin (x) = 0$

Этап 4.2.2.6.1.2

Умножим $\sin (x)$ на $\sin (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.6.1.2.1

Перенесем $\sin (x)$ .

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (- 1 \cdot - 1 (\sin (x) \sin (x)) - \sin (x) \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + 1 \cdot 1) - 4 \sin (x) = 0$

Этап 4.2.2.6.1.2.2

Умножим $\sin (x)$ на $\sin (x)$ .

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (- 1 \cdot - 1 \sin^{2} (x) - \sin (x) \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + 1 \cdot 1) - 4 \sin (x) = 0$

Этап 4.2.2.6.1.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (1 \sin^{2} (x) - \sin (x) \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + 1 \cdot 1) - 4 \sin (x) = 0$

Этап 4.2.2.6.1.4

Умножим $\sin^{2} (x)$ на $1$ .

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (\sin^{2} (x) - \sin (x) \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + 1 \cdot 1) - 4 \sin (x) = 0$

Этап 4.2.2.6.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (\sin^{2} (x) - \sin (x) + 1 (- \sin (x)) + 1 \cdot 1) - 4 \sin (x) = 0$

Этап 4.2.2.6.1.6

Умножим $- \sin (x)$ на $1$ .

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (\sin^{2} (x) - \sin (x) - \sin (x) + 1 \cdot 1) - 4 \sin (x) = 0$

Этап 4.2.2.6.1.7

Умножим $1$ на $1$ .

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (\sin^{2} (x) - \sin (x) - \sin (x) + 1) - 4 \sin (x) = 0$

Этап 4.2.2.6.2

Вычтем $\sin (x)$ из $- \sin (x)$ .

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (\sin^{2} (x) - 2 \sin (x) + 1) - 4 \sin (x) = 0$

Этап 4.2.2.7

Применим свойство дистрибутивности.

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) - (- 2 \sin (x)) - 1 \cdot 1 - 4 \sin (x) = 0$

Этап 4.2.2.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.8.1

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 1 \cdot 1 - 4 \sin (x) = 0$

Этап 4.2.2.8.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 1 - 4 \sin (x) = 0$

Этап 4.2.3

Объединим противоположные члены в $1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 1 - 4 \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Вычтем $\sin^{2} (x)$ из $\sin^{2} (x)$ .

$1 + 2 \sin (x) + 0 + 2 \sin (x) - 1 - 4 \sin (x) = 0$

Этап 4.2.3.2

Добавим $1 + 2 \sin (x)$ и $0$ .

$1 + 2 \sin (x) + 2 \sin (x) - 1 - 4 \sin (x) = 0$

Этап 4.2.3.3

Вычтем $1$ из $1$ .

$2 \sin (x) + 2 \sin (x) + 0 - 4 \sin (x) = 0$

Этап 4.2.3.4

Добавим $2 \sin (x) + 2 \sin (x)$ и $0$ .

$2 \sin (x) + 2 \sin (x) - 4 \sin (x) = 0$

Этап 4.2.4

Добавим $2 \sin (x)$ и $2 \sin (x)$ .

$4 \sin (x) - 4 \sin (x) = 0$

Этап 4.2.5

Вычтем $4 \sin (x)$ из $4 \sin (x)$ .

$0 = 0$

Этап 4.3

Поскольку $0 = 0$ , это уравнение всегда будет истинным для любого значения $x$ .

Все вещественные числа

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Все вещественные числа

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$