Тригонометрия Примеры

$(\sin (x) + 0.2) (\cos (2 x) - 1) = 0$

Этап 1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sin (x) + 0.2 = 0$

$\cos (2 x) - 1 = 0$

Этап 2

Приравняем $\sin (x) + 0.2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Приравняем $\sin (x) + 0.2$ к $0$ .

$\sin (x) + 0.2 = 0$

Этап 2.2

Решим $\sin (x) + 0.2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вычтем $0.2$ из обеих частей уравнения.

$\sin (x) = - 0.2$

Этап 2.2.2

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- 0.2)$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Найдем значение $\arcsin (- 0.2)$ .

$x = - 0.20135792$

Этап 2.2.4

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 (3.14159265) + 0.20135792 + 3.14159265$

Этап 2.2.5

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Вычтем $2 π$ из $2 (3.14159265) + 0.20135792 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) + 0.20135792 + 3.14159265 - 2 π$

Этап 2.2.5.2

Результирующий угол $3.34295057$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 (3.14159265) + 0.20135792 + 3.14159265$ на полный оборот.

$x = 3.34295057$

Этап 2.2.6

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 2.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 2.2.6.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 2.2.7

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.1

Добавим $2 π$ к $- 0.20135792$ , чтобы найти положительный угол.

$- 0.20135792 + 2 π$

Этап 2.2.7.2

Вычтем $0.20135792$ из $2 π$ .

$6.08182738$

Этап 2.2.7.3

Перечислим новые углы.

$x = 6.08182738$

Этап 2.2.8

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 3.34295057 + 2 π n, 6.08182738 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 3

Приравняем $\cos (2 x) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $\cos (2 x) - 1$ к $0$ .

$\cos (2 x) - 1 = 0$

Этап 3.2

Решим $\cos (2 x) - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$\cos (2 x) = 1$

Этап 3.2.2

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$2 x = \arccos (1)$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Точное значение $\arccos (1)$ : $0$ .

$2 x = 0$

Этап 3.2.4

Разделим каждый член $2 x = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Разделим каждый член $2 x = 0$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 3.2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 3.2.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Этап 3.2.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$x = 0$

Этап 3.2.5

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$2 x = 2 π - 0$

Этап 3.2.6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$2 x = 2 π + 0$

Этап 3.2.6.1.2

Добавим $2 π$ и $0$ .

$2 x = 2 π$

Этап 3.2.6.2

Разделим каждый член $2 x = 2 π$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.2.1

Разделим каждый член $2 x = 2 π$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{2 π}{2}$

Этап 3.2.6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2 π}{2}$

Этап 3.2.6.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{2 π}{2}$

Этап 3.2.6.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.2.3.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.2.3.1.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2 π}{2}$

Этап 3.2.6.2.3.1.2

Разделим $π$ на $1$ .

$x = π$

Этап 3.2.7

Найдем период $\cos (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.2.7.2

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Этап 3.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Этап 3.2.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2}$

Этап 3.2.7.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 3.2.8

Период функции $\cos (2 x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = π n, π + π n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(\sin (x) + 0.2) (\cos (2 x) - 1) = 0$ верно.

$x = 3.34295057 + 2 π n, 6.08182738 + 2 π n, π n, π + π n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Объединим $π n$ и $π + π n$ в $π n$ .

$x = 3.34295057 + 2 π n, 6.08182738 + 2 π n, π n$ , для любого целого $n$