Тригонометрия Примеры

Этап 1
Применим формулу двойного угла для синуса.
Этап 2
Вынесем множитель из .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1
Возведем в степень .
Этап 2.2
Вынесем множитель из .
Этап 2.3
Вынесем множитель из .
Этап 2.4
Вынесем множитель из .
Этап 3
Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен , все выражение равно .
Этап 4
Приравняем к , затем решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1
Приравняем к .
Этап 4.2
Решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.1
Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь из синуса.
Этап 4.2.2
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.2.1
Точное значение : .
Этап 4.2.3
Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из и найдем решение во втором квадранте.
Этап 4.2.4
Вычтем из .
Этап 4.2.5
Найдем период .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.5.1
Период функции можно вычислить по формуле .
Этап 4.2.5.2
Заменим на в формуле периода.
Этап 4.2.5.3
Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между и равно .
Этап 4.2.5.4
Разделим на .
Этап 4.2.6
Период функции равен . Поэтому значения повторяются через каждые рад. в обоих направлениях.
, для любого целого
, для любого целого
, для любого целого
Этап 5
Приравняем к , затем решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1
Приравняем к .
Этап 5.2
Решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.2.1
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 5.2.2
Разделим каждый член на и упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.2.2.1
Разделим каждый член на .
Этап 5.2.2.2
Упростим левую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.2.2.2.1
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.2.2.2.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 5.2.2.2.1.2
Разделим на .
Этап 5.2.2.3
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.2.2.3.1
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 5.2.3
Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь из косинуса.
Этап 5.2.4
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.2.4.1
Точное значение : .
Этап 5.2.5
Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из и найдем решение в третьем квадранте.
Этап 5.2.6
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.2.6.1
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 5.2.6.2
Объединим дроби.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.2.6.2.1
Объединим и .
Этап 5.2.6.2.2
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 5.2.6.3
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.2.6.3.1
Умножим на .
Этап 5.2.6.3.2
Вычтем из .
Этап 5.2.7
Найдем период .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.2.7.1
Период функции можно вычислить по формуле .
Этап 5.2.7.2
Заменим на в формуле периода.
Этап 5.2.7.3
Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между и равно .
Этап 5.2.7.4
Разделим на .
Этап 5.2.8
Период функции равен . Поэтому значения повторяются через каждые рад. в обоих направлениях.
, для любого целого
, для любого целого
, для любого целого
Этап 6
Окончательным решением являются все значения, при которых верно.
, для любого целого
Этап 7
Объединим и в .
, для любого целого
Этап 8
Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.
Этап 9
Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 9.1
Проверим значение на интервале и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 9.1.1
Выберем значение на интервале и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.
Этап 9.1.2
Заменим на в исходном неравенстве.
Этап 9.1.3
Левая часть больше правой части , значит, данное утверждение всегда истинно.
True
True
Этап 9.2
Проверим значение на интервале и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 9.2.1
Выберем значение на интервале и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.
Этап 9.2.2
Заменим на в исходном неравенстве.
Этап 9.2.3
Левая часть не больше правой части , значит, данное утверждение ложно.
False
False
Этап 9.3
Проверим значение на интервале и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 9.3.1
Выберем значение на интервале и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.
Этап 9.3.2
Заменим на в исходном неравенстве.
Этап 9.3.3
Левая часть больше правой части , значит, данное утверждение всегда истинно.
True
True
Этап 9.4
Проверим значение на интервале и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 9.4.1
Выберем значение на интервале и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.
Этап 9.4.2
Заменим на в исходном неравенстве.
Этап 9.4.3
Левая часть не больше правой части , значит, данное утверждение ложно.
False
False
Этап 9.5
Проверим значение на интервале и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 9.5.1
Выберем значение на интервале и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.
Этап 9.5.2
Заменим на в исходном неравенстве.
Этап 9.5.3
Левая часть больше правой части , значит, данное утверждение всегда истинно.
True
True
Этап 9.6
Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.
Истина
Ложь
Истина
Ложь
Истина
Истина
Ложь
Истина
Ложь
Истина
Этап 10
Решение состоит из всех истинных интервалов.
or or , for any integer
Этап 11
Объединим интервалы.
, для любого целого
Этап 12