Тригонометрия Примеры

$\sin (x) + \sin (2 x) > 0$

Этап 1

Применим формулу двойного угла для синуса.

$\sin (x) + 2 \sin (x) \cos (x) > 0 = 0$

Этап 2

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin (x) + 2 \sin (x) \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\sin (x) + 2 \sin (x) \cos (x) = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin^{1} (x)$ .

$\sin (x) \cdot 1 + 2 \sin (x) \cos (x) = 0$

Этап 2.3

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (2 \cos (x)) = 0$

Этап 2.4

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (2 \cos (x))$ .

$\sin (x) (1 + 2 \cos (x)) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sin (x) = 0$

$1 + 2 \cos (x) = 0$

Этап 4

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ .

$\sin (x) = 0$

Этап 4.2

Решим $\sin (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (0)$

Этап 4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 4.2.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - 0$

Этап 4.2.4

Вычтем $0$ из $π$ .

$x = π$

Этап 4.2.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 4.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 4.2.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 4.2.6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Приравняем $1 + 2 \cos (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $1 + 2 \cos (x)$ к $0$ .

$1 + 2 \cos (x) = 0$

Этап 5.2

Решим $1 + 2 \cos (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 \cos (x) = - 1$

Этап 5.2.2

Разделим каждый член $2 \cos (x) = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разделим каждый член $2 \cos (x) = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 5.2.2.2.1.2

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{2}$

Этап 5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Этап 5.2.3

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Этап 5.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Точное значение $\arccos (- \frac{1}{2})$ : $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Этап 5.2.5

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Этап 5.2.6

Упростим $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Этап 5.2.6.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Этап 5.2.6.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Этап 5.2.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.3.1

Умножим $3$ на $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Этап 5.2.6.3.2

Вычтем $2 π$ из $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Этап 5.2.7

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 5.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 5.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 5.2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 5.2.8

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $\sin (x) (1 + 2 \cos (x)) = 0$ верно.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Объединим $2 π n$ и $π + 2 π n$ в $π n$ .

$x = π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$0 < x < \frac{2 π}{3}$

$\frac{2 π}{3} < x < π$

$π < x < \frac{4 π}{3}$

$\frac{4 π}{3} < x < 2 π$

$2 π < x < \frac{8 π}{3}$

Этап 9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Проверим значение на интервале $0 < x < \frac{2 π}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Выберем значение на интервале $0 < x < \frac{2 π}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1$

Этап 9.1.2

Заменим $x$ на $1$ в исходном неравенстве.

$\sin (1) + \sin (2 (1)) > 0$

Этап 9.1.3

Левая часть $1.75076841$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 9.2

Проверим значение на интервале $\frac{2 π}{3} < x < π$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Выберем значение на интервале $\frac{2 π}{3} < x < π$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 9.2.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

$\sin (3) + \sin (2 (3)) > 0$

Этап 9.2.3

Левая часть $- 0.13829549$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 9.3

Проверим значение на интервале $π < x < \frac{4 π}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Выберем значение на интервале $π < x < \frac{4 π}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 9.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\sin (4) + \sin (2 (4)) > 0$

Этап 9.3.3

Левая часть $0.23255575$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 9.4

Проверим значение на интервале $\frac{4 π}{3} < x < 2 π$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Выберем значение на интервале $\frac{4 π}{3} < x < 2 π$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 5$

Этап 9.4.2

Заменим $x$ на $5$ в исходном неравенстве.

$\sin (5) + \sin (2 (5)) > 0$

Этап 9.4.3

Левая часть $- 1.50294538$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 9.5

Проверим значение на интервале $2 π < x < \frac{8 π}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Выберем значение на интервале $2 π < x < \frac{8 π}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 7$

Этап 9.5.2

Заменим $x$ на $7$ в исходном неравенстве.

$\sin (7) + \sin (2 (7)) > 0$

Этап 9.5.3

Левая часть $1.64759395$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 9.6

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$0 < x < \frac{2 π}{3}$ Истина

$\frac{2 π}{3} < x < π$ Ложь

$π < x < \frac{4 π}{3}$ Истина

$\frac{4 π}{3} < x < 2 π$ Ложь

$2 π < x < \frac{8 π}{3}$ Истина

$0 < x < \frac{2 π}{3}$ Истина

$\frac{2 π}{3} < x < π$ Ложь

$π < x < \frac{4 π}{3}$ Истина

$\frac{4 π}{3} < x < 2 π$ Ложь

$2 π < x < \frac{8 π}{3}$ Истина

Этап 10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$0 + 2 π n < x < \frac{2 π}{3} + 2 π n$ or $π + 2 π n < x < \frac{4 π}{3} + 2 π n$ or $2 π + 2 π n < x < \frac{8 π}{3} + 2 π n$ , for any integer $n$

Этап 11

Объединим интервалы.

$π + 2 π n < x < \frac{4 π}{3} + 2 π n or 2 π n < x < \frac{2 π}{3} + 2 π n or 2 π + 2 π n < x < \frac{8 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 12